Polynom Division mit Rest

Rechner zur Division zweier Polynome mit Quotient und Rest

Polynom Division Rechner

Was wird berechnet?

Diese Funktion berechnet die algebraische Division zweier Polynome und liefert Quotient und Rest nach dem Divisionsprinzip.

Polynome eingeben
Eingabeformat

Die Koeffizienten können als Zahlenreihe eingegeben werden, getrennt durch Semikolon oder Leerzeichen.

Beispiel: Für \(3x^2+4x+5\) schreiben Sie "3 4 5" oder "3; 4; 5"

Polynomdivision

Wie bei der Zahlendivision: \(P(x) = Q(x) \cdot S(x) + R(x)\) mit Quotient S(x) und Rest R(x)


÷
Ergebnis
P(x) =
Q(x) =
Quotient S(x) =
Rest R(x) =
Verifikation: P(x) = Q(x) · S(x) + R(x)

Polynom Division Info

Divisions-Prinzip

Wie bei Zahlen:

  • Dividend ÷ Divisor = Quotient + Rest
  • P(x) = Q(x) · S(x) + R(x)
  • Grad(R) < Grad(Q)
  • Lange Division anwenden

Tipp: Der Grad des Rests ist immer kleiner als der Grad des Divisors.

Divisions-Algorithmus
1. Höchste Potenz dividieren
2. Mit Divisor multiplizieren
3. Vom Dividend subtrahieren
4. Nächsten Term hinunterholen
5. Wiederholen bis fertig
Wichtig

Der Divisor darf nicht das Nullpolynom sein. Der Grad des Divisors muss ≤ Grad des Dividenden sein.

Formeln für Polynom Division

Divisions-Grundsatz
\[P(x) = Q(x) \cdot S(x) + R(x)\] Dividend = Divisor × Quotient + Rest
Grad-Bedingung
\[\deg(R) < \deg(Q)\] Grad des Rests < Grad des Divisors
Eindeutigkeit
\[S(x) \text{ und } R(x) \text{ eindeutig}\] Quotient und Rest sind eindeutig
Verifikation
\[Q(x) \cdot S(x) + R(x) = P(x)\] Probe durch Rückrechnung

Ausführliches Beispiel

Beispiel: (3x² + 4x + 5) ÷ (2x + 3)
    1.5x + 0.25
   _______________
2x+3 | 3x² + 4x + 5
       3x² + 4.5x      ← 1.5x × (2x + 3)
       ___________
            -0.5x + 5
            -0.5x - 0.75  ← 0.25 × (2x + 3)
            ____________
                   5.75   ← Rest

1Erste Division

\[\frac{3x^2}{2x} = 1.5x\]

Höchste Terme dividieren

2Multiplikation

1.5x × (2x + 3) = 3x² + 4.5x

Quotient mit Divisor

3Subtraktion

\[(3x^2 + 4x) - (3x^2 + 4.5x) = -0.5x\]

Vom Dividend abziehen

4Nächster Term

\[-0.5x + 5\]

Konstante hinunterholen

5Zweite Division

\[\frac{-0.5x}{2x} = -0.25\]

Nächster Quotiententerm

6Endergebnis

Quotient: \(1.5x - 0.25\)
Rest: \(5.75\)
Verifikation
\[(2x + 3) \cdot (1.5x - 0.25) + 5.75 = 3x^2 + 4x + 5\]

Probe bestätigt das Ergebnis ✓

Divisions-Algorithmus

Schritt-für-Schritt Anleitung
  1. Ordnen: Polynome nach fallenden Potenzen sortieren
  2. Dividieren: Höchsten Term des Dividenden durch höchsten Term des Divisors
  3. Multiplizieren: Ergebnis mit dem ganzen Divisor multiplizieren
  4. Subtrahieren: Produkt vom aktuellen Dividenden abziehen
  5. Wiederholen: Mit dem neuen Dividend fortfahren
  6. Stoppen: Wenn Grad des Rests < Grad des Divisors
Praktische Tipps
  • Lücken füllen: Fehlende Potenzen mit Koeffizient 0 ergänzen
  • Sorgfältig rechnen: Vorzeichen beachten beim Subtrahieren
  • Probe machen: Ergebnis durch Rückrechnung prüfen
  • Rest prüfen: Grad des Rests muss kleiner sein
Häufige Fehler
  • Vorzeichen beim Subtrahieren vergessen
  • Fehlende Terme nicht berücksichtigen
  • Division zu früh beenden

Polynom Funktionen

Addition  •  Division mit Rest  •  Punktweise Division  •  Skalar Division  •  Multiplikation  •  Punktweise Multiplikation  •  Skalar Multiplikation  •  Subtraktion  •