Polynome Punktweise Multiplizieren

Rechner und Formel zur punktweisen Multiplikation zweier Polynome

Punktweise Multiplikation Rechner

Was wird berechnet?

Diese Funktion berechnet die punktweise Multiplikation zweier Polynome. Bei der punktweisen Multiplikation werden die entsprechenden Koeffizienten der gleichen Potenzen miteinander multipliziert.

Polynome eingeben

Für 3x² + 4x + 5 schreiben Sie: 3 4 5

×

Für 2x + 3 schreiben Sie: 2 3
Ergebnis
P(x):
Q(x):
Produkt:
Das Ergebnis zeigt die punktweise Multiplikation der Koeffizienten

Punktweise Multiplikation Info

Eigenschaften

Punktweise Multiplikation:

  • Koeffizienten gleicher Potenzen werden multipliziert
  • Grad kann sich reduzieren
  • Kommutativ: P ⊙ Q = Q ⊙ P
  • Anders als normale Polynommultiplikation

Wichtig: Die punktweise Multiplikation ist nicht dasselbe wie die normale Polynommultiplikation (Faltung).

Eingabeformat
3x² + 4x + 5
Eingabe: "3 4 5"
2x + 3
Eingabe: "2 3"
x² - 1
Eingabe: "1 0 -1"
Verwandte Funktionen

Für normale Polynommultiplikation: → Polynom Multiplikation

Formeln der punktweisen Multiplikation

Allgemeine Form
\[(P \odot Q)(x) = \sum_{i=0}^{\min(m,n)} p_i \cdot q_i \cdot x^i\] Punktweise Multiplikation zweier Polynome
Koeffizientenweise
\[c_i = p_i \cdot q_i\] Koeffizient der i-ten Potenz
Beispiel 2D
\[(ax + b) \odot (cx + d) = (ac)x + (bd)\] Lineare Polynome
Grad des Ergebnisses
\[\deg(P \odot Q) \leq \min(\deg(P), \deg(Q))\] Grad kann sich reduzieren

Detailliertes Rechenbeispiel

Beispiel: (3x² + 4x + 5) ⊙ (2x + 3)
Gegebene Polynome:
\[P(x) = 3x^2 + 4x + 5\] \[Q(x) = 2x + 3\]
Koeffizienten-Arrays:
P: [3, 4, 5]
Q: [2, 3, 0]
Schritt-für-Schritt Berechnung:
Potenz P(x) Koeffizient Q(x) Koeffizient Produkt
x² 3 0 3 × 0 = 0
x¹ 4 2 4 × 2 = 8
x⁰ 5 3 5 × 3 = 15
Ergebnis:
\[(P \odot Q)(x) = 0x^2 + 8x + 15 = 8x + 15\]

Beachten Sie: Der x²-Term verschwindet, da einer der Koeffizienten 0 ist!

Vergleich: Punktweise vs. Normale Multiplikation

Punktweise Multiplikation (⊙)
\[(3x^2 + 4x + 5) \odot (2x + 3)\] \[= 0x^2 + 8x + 15\] \[= 8x + 15\]
  • Koeffizienten gleicher Potenzen multiplizieren
  • Grad kann sich reduzieren
  • Einfachere Berechnung
Normale Multiplikation (×)
\[(3x^2 + 4x + 5) \times (2x + 3)\] \[= 6x^3 + 17x^2 + 22x + 15\]
  • Distributivgesetz anwenden
  • Grad addiert sich: deg(P) + deg(Q)
  • Komplexere Berechnung

Anwendungen der punktweisen Multiplikation

Signalverarbeitung

Punktweise Multiplikation von Polynomen entspricht der Multiplikation von Signalen im Zeitbereich.

Numerische Analysis

Verwendet bei der Interpolation und Approximation von Funktionen.

Algebra

Grundlage für das Studium von Polynomringen und algebraischen Strukturen.

Mathematische Eigenschaften

Grundeigenschaften
  • Kommutativität: P ⊙ Q = Q ⊙ P
  • Assoziativität: (P ⊙ Q) ⊙ R = P ⊙ (Q ⊙ R)
  • Neutrales Element: P ⊙ (1,1,1,...) = P
  • Nullelement: P ⊙ 0 = 0
Grad-Eigenschaften
  • deg(P ⊙ Q) ≤ min(deg(P), deg(Q))
  • Grad kann sich durch Nullkoeffizienten reduzieren
  • Ist meist kleiner als bei normaler Multiplikation
  • Null-Polynom möglich bei ungleichen Graden

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