Polynom Skalar Division

Rechner und Formel zur Division eines Polynoms durch eine reelle Zahl

Skalar Division Rechner

Was wird berechnet?

Diese Funktion berechnet die Skalar-Division eines Polynoms durch eine reelle Zahl. Jeder Koeffizient des Polynoms wird durch den Divisor geteilt.

Eingabewerte
Für 3x² + 4x + 5 schreiben Sie: 3 4 5

Achtung: Divisor darf nicht 0 sein!
Ergebnis
P(x):
Divisor:
Quotient:
Jeder Koeffizient wird durch den Divisor geteilt

Skalar Division Info

Eigenschaften

Skalar Division:

  • Jeden Koeffizienten durch Divisor teilen
  • Grad des Polynoms bleibt gleich
  • Distributiv über Addition
  • Umkehrung der Skalar-Multiplikation

Wichtig: Division durch 0 ist nicht möglich! Der Divisor muss ungleich 0 sein.

Eingabeformat
6x² + 4x + 2
Eingabe: "6 4 2"
4x - 2
Eingabe: "4 -2"
2x³ + 6x
Eingabe: "2 0 6 0"
Verwandte Funktionen

Für andere Operationen: → Skalar-Multiplikation | → Punktweise Division

Formeln der Skalar-Division

Allgemeine Form
\[\frac{P(x)}{k} = \frac{1}{k} \cdot \sum_{i=0}^{n} p_i x^i = \sum_{i=0}^{n} \frac{p_i}{k} x^i\] Polynom P(x) geteilt durch Skalar k ≠ 0
Koeffizientenweise
\[c_i = \frac{p_i}{k}\] Neuer Koeffizient für x^i
Distributivgesetz
\[\frac{P + Q}{k} = \frac{P}{k} + \frac{Q}{k}\] Distributiv über Addition
Zusammengesetzte Division
\[\frac{P}{k_1 \cdot k_2} = \frac{1}{k_1} \cdot \frac{P}{k_2}\] Division durch Produkt

Detailliertes Rechenbeispiel

Beispiel: (6x² + 4x + 2) ÷ 2
Gegebenes Polynom:
\[P(x) = 6x^2 + 4x + 2\] \[\text{Divisor: } k = 2\]
Koeffizienten:
P: [6, 4, 2]
k = 2
Schritt-für-Schritt Berechnung:
Term Ursprünglicher Koeffizient Divisor Neuer Koeffizient Neuer Term
x² 6 2 6 ÷ 2 = 3 3x²
x¹ 4 2 4 ÷ 2 = 2 2x
x⁰ 2 2 2 ÷ 2 = 1 1
Ergebnis:
\[\frac{6x^2 + 4x + 2}{2} = 3x^2 + 2x + 1\]

Beachten Sie: Der Grad des Polynoms bleibt unverändert (Grad 2)!

Beispiel mit Dezimalzahlen

Beispiel: (3x² + 4x + 5) ÷ 2
Gegeben:
\[P(x) = 3x^2 + 4x + 5\] \[\text{Divisor: } k = 2\]
Berechnung:
\[3 \div 2 = 1.5\] \[4 \div 2 = 2\] \[5 \div 2 = 2.5\]
Ergebnis:
\[\frac{3x^2 + 4x + 5}{2} = 1.5x^2 + 2x + 2.5\]

Hinweis: Division kann zu Dezimalkoeffizienten führen!

Wichtige Einschränkungen

Division durch Null
Nicht erlaubt:
\[\frac{P(x)}{0} = \text{undefiniert}\]

Division durch 0 ist mathematisch nicht definiert.

Vorsicht bei kleinen Zahlen:

Division durch sehr kleine Zahlen (nahe 0) kann zu numerischen Instabilitäten führen.

Anwendungen der Skalar-Division

Normalisierung

Teilen durch den Leitkoeffizienten zur Normalisierung von Polynomen.

Skalierung

Verkleinern von Funktionsgraphen oder Umrechnung von Einheiten.

Vereinfachung

Vereinfachung von Ausdrücken durch Teilen gemeinsamer Faktoren.

Mathematische Eigenschaften

Grundeigenschaften
  • Distributivität: (P + Q)/k = P/k + Q/k
  • Assoziativität: P/(ab) = (P/a)/b
  • Neutrales Element: P/1 = P
  • Undefiniert: P/0 (Division durch Null)
Grad-Eigenschaften
  • deg(P/k) = deg(P) für k ≠ 0
  • Leitkoeffizient wird durch k geteilt
  • Nullstellen bleiben unverändert
  • Umkehrung der Skalar-Multiplikation

Geometrische Interpretation

Stauchung in y-Richtung

Die Division durch einen Skalar k > 1 staucht den Funktionsgraph in y-Richtung um den Faktor 1/k.

\[f(x) = 4x^2 \rightarrow g(x) = \frac{4x^2}{2} = 2x^2\] Graph wird um Faktor 1/2 gestaucht
Spiegelung bei negativem Divisor

Division durch einen negativen Skalar spiegelt den Graph zusätzlich an der x-Achse.

\[f(x) = 4x^2 \rightarrow g(x) = \frac{4x^2}{-2} = -2x^2\] Graph wird gestaucht und gespiegelt
Spezialfälle
k = 1:
Identität (keine Änderung)
k = -1:
Spiegelung an x-Achse
k > 1:
Stauchung in y-Richtung
0 < k < 1:
Streckung in y-Richtung

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