Polynom Skalar Multiplikation

Rechner und Formel zur Multiplikation eines Polynoms mit einer reellen Zahl

Skalar Multiplikation Rechner

Was wird berechnet?

Diese Funktion berechnet die Skalar-Multiplikation eines Polynoms mit einer reellen Zahl. Jeder Koeffizient des Polynoms wird mit dem Skalar multipliziert.

Eingabewerte

Für 3x² + 4x + 5 schreiben Sie: 3 4 5

Ergebnis
P(x):
Skalar:
Produkt:
Jeder Koeffizient wird mit dem Skalar multipliziert

Skalar Multiplikation Info

Eigenschaften

Skalar Multiplikation:

  • Jeden Koeffizienten mit Skalar multiplizieren
  • Grad des Polynoms bleibt gleich
  • Distributiv über Addition
  • Assoziativ mit Skalaren

Tipp: Die Skalar-Multiplikation verändert nur die "Größe" des Polynoms, nicht seine "Form".

Eingabeformat
3x² + 4x + 5
Eingabe: "3 4 5"
2x - 1
Eingabe: "2 -1"
x³ + x
Eingabe: "1 0 1 0"
Verwandte Funktionen

Für andere Operationen: → Addition | → Multiplikation

Formeln der Skalar-Multiplikation

Allgemeine Form
\[k \cdot P(x) = k \cdot \sum_{i=0}^{n} p_i x^i = \sum_{i=0}^{n} (k \cdot p_i) x^i\] Skalar k multipliziert mit Polynom P(x)
Koeffizientenweise
\[c_i = k \cdot p_i\] Neuer Koeffizient für x^i
Distributivgesetz
\[k \cdot (P + Q) = k \cdot P + k \cdot Q\] Distributiv über Addition
Assoziativgesetz
\[(k_1 \cdot k_2) \cdot P = k_1 \cdot (k_2 \cdot P)\] Assoziativ mit Skalaren

Detailliertes Rechenbeispiel

Beispiel: 2 × (3x² + 4x + 5)
Gegebenes Polynom:
\[P(x) = 3x^2 + 4x + 5\] \[\text{Skalar: } k = 2\]
Koeffizienten:
P: [3, 4, 5]
k = 2
Schritt-für-Schritt Berechnung:
Term Ursprünglicher Koeffizient Skalar Neuer Koeffizient Neuer Term
x² 3 2 3 × 2 = 6 6x²
x¹ 4 2 4 × 2 = 8 8x
x⁰ 5 2 5 × 2 = 10 10
Ergebnis:
\[2 \cdot (3x^2 + 4x + 5) = 6x^2 + 8x + 10\]

Beachten Sie: Der Grad des Polynoms bleibt unverändert (Grad 2)!

Beispiel mit negativem Skalar

Beispiel: -3 × (x² - 2x + 1)
Gegeben:
\[P(x) = x^2 - 2x + 1\] \[\text{Skalar: } k = -3\]
Berechnung:
\[(-3) \cdot 1 = -3\] \[(-3) \cdot (-2) = 6\] \[(-3) \cdot 1 = -3\]
Ergebnis:
\[(-3) \cdot (x^2 - 2x + 1) = -3x^2 + 6x - 3\]

Wichtig: Ein negativer Skalar kehrt alle Vorzeichen um!

Anwendungen der Skalar-Multiplikation

Skalierung von Funktionen

Vergrößern oder verkleinern von Funktionsgraphen in y-Richtung.

Einheitenumrechnung

Umrechnung zwischen verschiedenen Maßeinheiten in physikalischen Formeln.

Faktorisierung

Ausklammern gemeinsamer Faktoren zur Vereinfachung von Ausdrücken.

Mathematische Eigenschaften

Grundeigenschaften
  • Distributivität: k(P + Q) = kP + kQ
  • Assoziativität: (ab)P = a(bP)
  • Neutrales Element: 1 · P = P
  • Nullelement: 0 · P = 0
Grad-Eigenschaften
  • deg(k · P) = deg(P) für k ≠ 0
  • deg(0 · P) = -∞ (Nullpolynom)
  • Leitkoeffizient wird mit k multipliziert
  • Nullstellen bleiben unverändert

Geometrische Interpretation

}}
Streckung in y-Richtung

Die Multiplikation mit einem Skalar k > 1 streckt den Funktionsgraph in y-Richtung um den Faktor k.

\[f(x) = x^2 \rightarrow g(x) = 2x^2\] Graph wird um Faktor 2 gestreckt
Spiegelung an x-Achse

Die Multiplikation mit einem negativen Skalar spiegelt den Graph zusätzlich an der x-Achse.

\[f(x) = x^2 \rightarrow g(x) = -x^2\] Graph wird gespiegelt
Wichtige Spezialfälle
k = 1:
Identität (keine Änderung)
k = -1:
Spiegelung an x-Achse
0 < k < 1:
Stauchung in y-Richtung
k = 0:
Nullpolynom

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