Polynom Subtraktion

Rechner und Formel zur Subtraktion zweier Polynome

Polynom Subtraktion Rechner

Was wird berechnet?

Diese Funktion berechnet die Subtraktion zweier Polynome. Die entsprechenden Koeffizienten gleicher Potenzen werden voneinander subtrahiert.

Polynome eingeben

Für 3x² + 4x + 5 schreiben Sie: 3 4 5


Für 2x + 3 schreiben Sie: 2 3
Ergebnis
P(x):
Q(x):
Differenz:
Entsprechende Koeffizienten werden voneinander subtrahiert

Polynom Subtraktion Info

Eigenschaften

Polynom Subtraktion:

  • Koeffizienten gleicher Potenzen subtrahieren
  • Grad entspricht max(deg(P), deg(Q))
  • Nicht kommutativ: P - Q ≠ Q - P
  • Umkehrung der Addition

Wichtig: Bei der Subtraktion ändern sich die Vorzeichen des Subtrahenden!

Eingabeformat
3x² + 4x + 5
Eingabe: "3 4 5"
2x - 3
Eingabe: "2 -3"
x³ - x + 1
Eingabe: "1 0 -1 1"
Verwandte Funktionen

Für andere Operationen: → Addition | → Multiplikation

Formeln der Polynom-Subtraktion

Allgemeine Form
\[P(x) - Q(x) = \sum_{i=0}^{\max(m,n)} (p_i - q_i) x^i\] Subtraktion zweier Polynome
Koeffizientenweise
\[c_i = p_i - q_i\] Differenz der Koeffizienten für x^i
Vorzeichenregel
\[P - Q = P + (-Q)\] Subtraktion als Addition des Negativen
Nicht-Kommutativität
\[P - Q = -(Q - P)\] Reihenfolge ist wichtig

Detailliertes Rechenbeispiel

Beispiel: (3x² + 4x + 5) − (2x + 3)
Gegebene Polynome:
\[P(x) = 3x^2 + 4x + 5\] \[Q(x) = 2x + 3\]
Koeffizienten-Arrays:
P: [3, 4, 5]
Q: [0, 2, 3] (mit 0 für x²)
Schritt-für-Schritt Berechnung:
Potenz P(x) Koeffizient Q(x) Koeffizient Differenz Neuer Term
x² 3 0 3 - 0 = 3 3x²
x¹ 4 2 4 - 2 = 2 2x
x⁰ 5 3 5 - 3 = 2 2
Ergebnis:
\[(3x^2 + 4x + 5) - (2x + 3) = 3x^2 + 2x + 2\]

Beachten Sie: Der Grad bleibt 2, da der x²-Term erhalten bleibt!

Beispiel mit Vorzeichenwechsel

Beispiel: (x² + 2x - 1) − (3x² - x + 4)
Gegeben:
\[P(x) = x^2 + 2x - 1\] \[Q(x) = 3x^2 - x + 4\]
Auflösung der Klammer:
\[P - Q = P + (-Q)\] \[(-Q) = -3x^2 + x - 4\]
Koeffizientenweise Subtraktion:
Potenz P(x) Q(x) P - Q
x² 1 3 1 - 3 = -2
x¹ 2 -1 2 - (-1) = 3
x⁰ -1 4 -1 - 4 = -5
Ergebnis:
\[(x^2 + 2x - 1) - (3x^2 - x + 4) = -2x^2 + 3x - 5\]

Wichtig: Beachten Sie die Vorzeichenwechsel beim Subtrahieren!

Nicht-Kommutativität der Subtraktion

Wichtig: P - Q ≠ Q - P
P - Q:
\[(3x + 2) - (x + 1)\] \[= 3x + 2 - x - 1\] \[= 2x + 1\]
Q - P:
\[(x + 1) - (3x + 2)\] \[= x + 1 - 3x - 2\] \[= -2x - 1\]
Beziehung:
\[Q - P = -(P - Q)\] \[-2x - 1 = -(2x + 1)\]

Die Ergebnisse sind entgegengesetzt zueinander!

Anwendungen der Polynom-Subtraktion

Fehleranalyse

Berechnung der Differenz zwischen theoretischen und gemessenen Werten.

Signalverarbeitung

Entfernung von Störsignalen durch Subtraktion bekannter Signale.

Vereinfachung

Vereinfachung komplexer Ausdrücke durch Wegfallen ähnlicher Terme.

Mathematische Eigenschaften

Grundeigenschaften
  • Nicht-Kommutativität: P - Q ≠ Q - P
  • Assoziativität: (P - Q) - R = P - (Q + R)
  • Neutrales Element: P - 0 = P
  • Inverse: P - P = 0
Grad-Eigenschaften
  • deg(P - Q) ≤ max(deg(P), deg(Q))
  • Grad kann sich reduzieren bei Aufhebung
  • Leitkoeffizienten werden subtrahiert
  • Umkehrung der Addition

Geometrische Interpretation

Funktionsdifferenz

Die Subtraktion P(x) - Q(x) erzeugt eine neue Funktion, die die vertikale Differenz zwischen P und Q darstellt.

\[f(x) = (x^2) - (x) = x^2 - x\] Parabel minus Gerade
Nullstellen

Die Nullstellen von P - Q entsprechen den Schnittpunkten der Graphen von P und Q.

\[P(x) - Q(x) = 0\] \[\Rightarrow P(x) = Q(x)\] Schnittpunkte der Funktionen
Praktische Bedeutung

In der Physik und Ingenieurswissenschaft wird die Polynom-Subtraktion oft verwendet, um Abweichungen, Fehler oder Differenzen zwischen Modellen zu berechnen. Zum Beispiel kann die Differenz zwischen einem theoretischen und einem experimentellen Polynom wichtige Informationen über systematische Fehler liefern.

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