Rationale, irrationale und reelle Zahlen
Erweiterung der Zahlensysteme und ihre Eigenschaften
Rationale Zahlen
Um eine Zahlenmenge zu bekommen, bei der auch jedes Ergebnis einer Division in dieser Menge liegt, müssen wir die ganzen Zahlen erweitern. Dazu werden die rationalen Zahlen verwendet. Diese werden durch Brüche von ganzen Zahlen gebildet. Die ganzen Zahlen sind ebenfalls in den rationalen Zahlen enthalten.
Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen: a/b, wobei a und b ganze Zahlen sind und b ≠ 0. Diese Menge wird mit dem Symbol ℚ bezeichnet.
Mit rationalen Zahlen können alle vier Grundoperationen ausgeführt werden: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (außer Division durch 0).
Addition rationaler Zahlen
Beim Addieren müssen beide Summanden auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden.
a/b + m/n = (a·n)/(b·n) + (b·m)/(b·n) = (a·n + b·m)/(b·n)
Beispiele für Addition
- 1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4
- 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2
- 2/5 + 3/5 = 5/5 = 1
Subtraktion rationaler Zahlen
Eine Subtraktion kann über die Addition ausgeführt werden, indem man die negative Zahl addiert.
a/b - m/n = a/b + (-m/n) = (a·n - b·m)/(b·n)
Beispiele für Subtraktion
- 5/6 - 1/3 = 5/6 - 2/6 = 3/6 = 1/2
- 3/4 - 1/2 = 3/4 - 2/4 = 1/4
- 7/8 - 3/8 = 4/8 = 1/2
Multiplikation rationaler Zahlen
Bei der Multiplikation wird der Zähler mit dem Zähler und der Nenner mit dem Nenner multipliziert.
a/b · m/n = (a·m)/(b·n)
Beispiele für Multiplikation
- 1/2 · 3/4 = 3/8
- 2/3 · 3/5 = 6/15 = 2/5
- 5/6 · 4/5 = 20/30 = 2/3
Division rationaler Zahlen
Division durch einen Bruch ist gleich der Multiplikation mit seinem Kehrwert.
a/b ÷ m/n = a/b · n/m = (a·n)/(b·m)
Beispiele für Division
- 1/2 ÷ 3/4 = 1/2 · 4/3 = 4/6 = 2/3
- 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 · 2/1 = 6/4 = 3/2
- 5/6 ÷ 5/3 = 5/6 · 3/5 = 15/30 = 1/2
Rationale Zahlen sind abgeschlossen unter allen vier Grundoperationen (außer Division durch 0). Das bedeutet: Wenn man zwei rationale Zahlen addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert, erhält man immer wieder eine rationale Zahl.
Dezimaldarstellung rationaler Zahlen
Rationale Zahlen können als Dezimalbruch (Kommazahl) geschrieben werden. Vor dem Komma steht der ganze Anteil der Zahl, nach dem Komma die Nachkommastellen.
Eigenschaften von Dezimalzahlen
Rationale Zahlen in Dezimalbruchschreibweise haben die Eigenschaft, dass sie entweder:
- Nur endlich viele Nachkommastellen haben (endliche Dezimalzahl)
- Eine Periode in den Nachkommastellen haben, in der sich Ziffernfolgen wiederholen (periodische Dezimalzahl)
Beispiele: Rationale Zahlen als Dezimalzahlen
Wenn eine Dezimalzahl periodisch ist, wird die sich wiederholende Ziffer oder Ziffernfolge mit einem Strich darüber gekennzeichnet: 0,1̄ bedeutet 0,111... oder 0,4̄16̄ bedeutet 0,416416416...
Irrationale Zahlen
Zahlen mit einer unendlichen Anzahl von Nachkommastellen ohne Periode sind irrationale Zahlen. Sie lassen sich nicht als Bruch darstellen.
Irrationale Zahlen sind Zahlen, die sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen. Sie haben unendlich viele, nicht-periodische Nachkommastellen. Diese Menge wird mit dem Symbol ℝ \ ℚ bezeichnet.
Bekannte irrationale Zahlen
Pi (π)
π ≈ 3,14159265358979...
Verhältnis von Umfang zur Durchmesser eines KreisesEulersche Zahl (e)
e ≈ 2,71828182845904...
Basis des natürlichen LogarithmusQuadratwurzeln
√2 ≈ 1,41421356237...
Viele Wurzeln sind irrationalGoldener Schnitt (φ)
φ ≈ 1,61803398874...
Häufig in der Natur und KunstWeitere Beispiele irrationaler Zahlen
- √3 ≈ 1,732050807568...
- √5 ≈ 2,236067977499...
- ln(2) ≈ 0,693147180559...
- log₁₀(3) ≈ 0,477121254719...
Reelle Zahlen
Die rationalen Zahlen zusammen mit den irrationalen Zahlen bilden die reellen Zahlen.
Die reellen Zahlen umfassen alle rationalen und irrationalen Zahlen. Sie bilden die Menge aller Zahlen, die auf einer Zahlengeraden dargestellt werden können. Diese Menge wird mit dem Symbol ℝ bezeichnet.
Zahlensystem-Hierarchie
Die reellen Zahlen enthalten folgende Zahlensysteme in dieser Hierarchie:
- ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
- Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl
- Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl
- Jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl
- Es gibt reelle Zahlen, die nicht rational sind (die irrationalen Zahlen)
Praktische Anwendungen
Rationale Zahlen
- Bruchteile und Anteile (z.B. 3/4 eines Kuchens)
- Finanzberechnungen (Zinsen, Rabatte, Provisionen)
- Messungen und Konvertierungen (Umrechnung von Einheiten)
- Rezepte und Portionsberechnung
- Wahrscheinlichkeitsberechnungen
Irrationale Zahlen
- π bei Kreisberechnungen (Fläche, Umfang)
- e in Exponentialfunktionen und Wachstumsmodellen
- √2 in Geometrie (Diagonale eines Quadrates)
- Goldener Schnitt in Kunst und Natur
- Naturwissenschaftliche Konstanten und Berechnungen
Reelle Zahlen
- Alle mathematischen und physikalischen Berechnungen
- Koordinaten in Graphen und Diagrammen
- Messwerte in allen Wissenschaften
- Computerberechnungen und Datenverarbeitung
- Ingenieurwesen und technische Anwendungen
Vergleich: Rationale vs. Irrationale vs. Reelle Zahlen
| Eigenschaft | Rationale Zahlen (ℚ) | Irrationale Zahlen | Reelle Zahlen (ℝ) |
|---|---|---|---|
| Definition | a/b (a,b ∈ ℤ, b ≠ 0) | Nicht als Bruch darstellbar | Alle Zahlen auf der Zahlengeraden |
| Dezimaldarstellung | Endlich oder periodisch | Unendlich, nicht-periodisch | Beliebig |
| Beispiele | 1/2, 3/4, -5/3, 2 | π, e, √2, √3 | Alle obigen |
| Addition | Geschlossen | Nicht geschlossen | Geschlossen |
| Multiplikation | Geschlossen | Nicht geschlossen | Geschlossen |
| Größenvergleich | Möglich | Möglich | Möglich |
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