Absoluter Betrag einer Zahl
Definition, Eigenschaften und Anwendungen des absoluten Betrags
Der absolute Betrag (auch Absolutwert, Absolutbetrag oder schlicht Betrag genannt) einer Zahl ist ihr Abstand zur Null. Dieser Abstand ist immer nicht-negativ - er ist entweder positiv oder gleich Null. Der absolute Betrag wird mit zwei senkrechten Strichen gekennzeichnet: |x|
Absoluter Betrag reeller Zahlen
Der absolute Betrag einer reellen Zahl ist sehr einfach zu verstehen: Man erhält ihn durch Weglassen des Vorzeichens.
Der Absolutbetrag einer reellen Zahl x ist:
- Gleich x, wenn x ≥ 0 (positive Zahlen und Null)
- Gleich -x, wenn x < 0 (negative Zahlen)
Formal: |x| = { x, wenn x ≥ 0; -x, wenn x < 0 }
Geometrische Interpretation
Auf der Zahlengeraden werden negative Zahlen links vom Nullpunkt und positive Zahlen rechts vom Nullpunkt dargestellt. Der absolute Betrag einer reellen Zahl ist der Abstand vom Nullpunkt auf der Zahlengeraden.
Zahlengeraden-Darstellung:
... -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ...
|-3| = 3 (Abstand von -3 zur 0 beträgt 3)
|3| = 3 (Abstand von 3 zur 0 beträgt 3)
Beispiele reeller Zahlen
- |3| = 3 (positive Zahl bleibt positiv)
- |-3| = 3 (negative Zahl wird positiv)
- |0| = 0 (Null hat Betrag Null)
- |-7| = 7
- |5.5| = 5.5
- |-2.5| = 2.5
Absoluter Betrag komplexer Zahlen
Für komplexe Zahlen ist die Berechnung des Betrags etwas aufwendiger. Komplexe Zahlen werden in der Gauß'schen Zahlenebene dargestellt, wobei die x-Achse den Realteil und die y-Achse den Imaginärteil darstellt.
Der Betrag einer komplexen Zahl z = a + bi ist definiert als:
|z| = √(a² + b²)
Dies ist die Länge des Vektors vom Ursprung zur Darstellung der komplexen Zahl in der Ebene.
Geometrische Interpretation
Die Darstellung mittels Ortsvektoren einer komplexen Zahl erzeugt immer ein rechtwinkliges Dreieck, das aus den beiden Katheten a und b und der Hypotenuse z besteht. Der Betrag entspricht der Länge dieser Hypotenuse (nach dem Satz des Pythagoras).
Grafische Darstellung: Die komplexe Zahl 3 + 4i und ihr Betrag |z| = 5
Beispiele komplexer Zahlen
- z = 3 + 4i: |z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
- z = 1 + i: |z| = √(1² + 1²) = √2 ≈ 1,414
- z = -2 + 2i: |z| = √((-2)² + 2²) = √(4 + 4) = √8 ≈ 2,828
- z = 5 (rein reell): |z| = √(5² + 0²) = 5
- z = 3i (rein imaginär): |z| = √(0² + 3²) = 3
Eigenschaften des Betrags
Nicht-negativität
|x| ≥ 0 für alle x. Der Betrag ist immer größer oder gleich Null.
Null nur für Null
|x| = 0 genau dann, wenn x = 0
Symmetrie
|x| = |-x| für alle x. Die Beträge von x und -x sind gleich.
Multiplikativität
|x · y| = |x| · |y| für alle x, y
Division
|x/y| = |x|/|y| für alle y ≠ 0
Dreiecksungleichung
|x + y| ≤ |x| + |y| für alle x, y
Wichtige Rechenregeln
| Regel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Nicht-Negativität | |x| ≥ 0 | |-5| = 5 ≥ 0 |
| Symmetrie | |x| = |-x| | |3| = |-3| = 3 |
| Multiplikation | |x · y| = |x| · |y| | |3 · (-2)| = |3| · |-2| = 6 |
| Division | |x/y| = |x|/|y| | |6/(-2)| = |6|/|-2| = 3 |
| Quadrat | x² = |x|² | (-5)² = |-5|² = 25 |
| Dreiecksungleichung | |x + y| ≤ |x| + |y| | |3 + (-2)| = 1 ≤ 3 + 2 = 5 |
Praktische Anwendungen
Mathematik und Analysis
- Distanzberechnung: Abstand zwischen zwei Punkten auf der Zahlengeraden
- Grenzwertberechnung: Definition von Konvergenz und Stetigkeit
- Vektorrechnung: Betrag von Vektoren und ihre Längen
- Komplexe Analysis: Modulus komplexer Zahlen
Physik und Ingenieurwesen
- Geschwindigkeit und Geschwindigkeit: Betrag der Geschwindigkeit
- Beschleunigung: Magnitude von Beschleunigungsvektoren
- Fehlerberechnung: Absolute Fehler in Messungen
- Signalverarbeitung: Amplitude von Wellen und Signalen
Wirtschaft und Statistik
- Abweichungsanalyse: Abweichungen vom Durchschnittswert
- Fehlermetriken: Mean Absolute Error (MAE)
- Risikobewertung: Absolute Verluste und Gewinne
- Qualitätskontrolle: Toleranzberechnung
Spezielle Fälle und Besonderheiten
Der Betrag eines Produktes ist gleich dem Produkt der Beträge: |a · b| = |a| · |b|
Beispiel: |(-3) · 4| = |-12| = 12 = |-3| · |4| = 3 · 4 = 12
Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Beträge: |a / b| = |a| / |b| (für b ≠ 0)
Beispiel: |(-12) / 4| = |-3| = 3 = |-12| / |4| = 12 / 4 = 3
Der Betrag einer Summe ist NICHT gleich der Summe der Beträge!
FALSCH: |a + b| = |a| + |b|
RICHTIG: |a + b| ≤ |a| + |b| (Dreiecksungleichung)
Beispiel: |3 + (-5)| = |-2| = 2, aber |3| + |-5| = 3 + 5 = 8
Betrag vs. verwandte Konzepte
| Konzept | Definition | Unterschied zum Betrag |
|---|---|---|
| Betrag |x| | Abstand von x zur Null | Immer nicht-negativ |
| Vorzeichenfunktion sgn(x) | +1 (x>0), 0 (x=0), -1 (x<0) | Gibt nur Vorzeicheninformation |
| Negation -x | Multiplikation mit -1 | Kann negativ sein, verändert Vorzeichen |
| Quadratwurzel √x | Positive Lösung von y² = x | Nur für x ≥ 0 definiert, nicht negativ |
| Norm ||x|| | Verallgemeinerung für Vektoren | Betrag ist spezielle Norm (Länge) |
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