Zahlensysteme
Dezimal, Hexadezimal, Oktal und Binär - Die wichtigsten Zahlensysteme
Zahlensysteme sind fundamentale Konzepte in der Mathematik und Informatik. Sie definieren, wie Zahlen dargestellt und bearbeitet werden. Während wir im täglichen Leben das Dezimalsystem (Basis 10) verwenden, spielen in der Computertechnik das Binärsystem (Basis 2), Oktalsystem (Basis 8) und Hexadezimalsystem (Basis 16) eine wichtige Rolle.
Übersicht der Zahlensysteme
Binär
Grundlage moderner Computer
Oktal
Dateizugriffsrechte (Unix/Linux)
Dezimal
Standard im täglichen Leben
Hexadezimal
Programmierung und Speicheradressen
Dezimalsystem (Basis 10)
Das Dezimalsystem (von lat. decem = zehn) ist das Zahlensystem, das wir täglich verwenden. Es basiert auf der Basis 10.
Eine Dezimalzahl ist eine Zahl, deren Wert mit den Dezimalziffern 0 bis 9 dargestellt wird. Das Dezimalsystem wird auch Zehnersystem genannt.
Eigenschaften des Dezimalsystems
- Basis: 10 (zehn verschiedene Ziffern)
- Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
- Stellenwerte: ..., 10³, 10², 10¹, 10⁰, 10⁻¹, 10⁻², ...
- Darstellung ganzer und Dezimalzahlen: Mit Komma oder Punkt
Beispiele für Dezimalzahlen
- 527 = 5 × 10² + 2 × 10¹ + 7 × 10⁰ = 500 + 20 + 7
- 3,14 = 3 × 10⁰ + 1 × 10⁻¹ + 4 × 10⁻² = 3 + 0,1 + 0,04
- 1250 = 1 × 10³ + 2 × 10² + 5 × 10¹ + 0 × 10⁰
Binärsystem (Basis 2)
Das Binärsystem (auch Dualsystem genannt) ist die Grundlage für nahezu alle modernen Computer und digitalen Systeme. Es basiert auf der Basis 2.
Das Binärsystem kennt nur die Ziffern 0 und 1. Diese einzelnen Ziffern werden Bits (Binary Digits) genannt.
Eigenschaften des Binärsystems
- Basis: 2 (zwei verschiedene Ziffern)
- Ziffern: 0, 1
- Stellenwerte: ..., 2³, 2², 2¹, 2⁰ = ..., 8, 4, 2, 1
- Grundlage: Digitale Elektronik (An/Aus, Wahr/Falsch)
- 8 Bits = 1 Byte
Beispiele für Binärzahlen
- 1011 (binär) = 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 (dezimal)
- 1010 (binär) = 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰ = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 (dezimal)
- 11111111 (binär) = 255 (dezimal) - Maximum für 8 Bits
Computer arbeiten mit Binärzahlen, da sie leicht durch elektronische Schalter dargestellt werden können: 0 = Aus/Falsch, 1 = An/Wahr. Dies ermöglicht eine zuverlässige und effiziente Informationsverarbeitung.
Oktalsystem (Basis 8)
Das Oktalsystem (auch Achtersystem genannt) wird hauptsächlich in der Unix/Linux-Welt für Dateizugriffsrechte verwendet. Es basiert auf der Basis 8.
Das Oktalsystem kennt acht Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Nach der 7 folgt die oktale 10, die dem Dezimalwert 8 entspricht.
Eigenschaften des Oktalsystems
- Basis: 8 (acht verschiedene Ziffern)
- Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
- Stellenwerte: ..., 8³, 8², 8¹, 8⁰ = ..., 512, 64, 8, 1
- Jede Oktalziffer entspricht 3 Bits
- Verwendung: Unix/Linux Dateizugriffsrechte
Beispiele für Oktalzahlen
- 755 (oktal) = 7 × 8² + 5 × 8¹ + 5 × 8⁰ = 7 × 64 + 5 × 8 + 5 = 448 + 40 + 5 = 493 (dezimal)
- 100 (oktal) = 1 × 8² + 0 × 8¹ + 0 × 8⁰ = 64 (dezimal)
- 777 (oktal) = 7 × 64 + 7 × 8 + 7 = 448 + 56 + 7 = 511 (dezimal)
Unix/Linux Dateizugriffsrechte
Im Unix/Linux-System werden Dateizugriffsrechte mit drei Oktalziffern dargestellt:
Die Ziffern bedeuten:
- 7 (Besitzer): Lesen (4) + Schreiben (2) + Ausführen (1) = 7
- 5 (Gruppe): Lesen (4) + Ausführen (1) = 5
- 5 (Andere): Lesen (4) + Ausführen (1) = 5
Hexadezimalsystem (Basis 16)
Das Hexadezimalsystem (auch Sedezimalsystem genannt) ist in der Programmierung und bei Speicheradressen weit verbreitet. Es basiert auf der Basis 16.
Das Hexadezimalsystem kennt sechzehn Ziffern: 0-9 und A-F. Die Buchstaben A-F stellen die Werte 10-15 dar.
Eigenschaften des Hexadezimalsystems
- Basis: 16 (sechzehn verschiedene Ziffern)
- Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
- Stellenwerte: ..., 16³, 16², 16¹, 16⁰ = ..., 4096, 256, 16, 1
- Jede Hexziffer entspricht 4 Bits
- Präfixe: 0x (z.B. 0x2A) oder $ (z.B. $2A)
0=0, 1=1, 2=2, 3=3, 4=4, 5=5, 6=6, 7=7, 8=8, 9=9
A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15
Beispiele für Hexadezimalzahlen
- 2A (hex) = 2 × 16¹ + 10 × 16⁰ = 32 + 10 = 42 (dezimal)
- FF (hex) = 15 × 16¹ + 15 × 16⁰ = 240 + 15 = 255 (dezimal)
- 100 (hex) = 1 × 16² + 0 × 16¹ + 0 × 16⁰ = 256 (dezimal)
- ABC (hex) = 10 × 16² + 11 × 16¹ + 12 × 16⁰ = 2560 + 176 + 12 = 2748 (dezimal)
Anwendungen des Hexadezimalsystems
- Farben in HTML/CSS: #FF5733 (Rot, Grün, Blau)
- Speicheradressen: 0x7FFF8000
- Programmiercodes: 0xDEADBEEF
- Binärdatenblöcke: Hexdumps von Dateien
- Unicode-Zeichen: U+1F600
Umrechnungstabelle
Vergleich der Zahlensysteme für die Zahlen 0 bis 16:
| Dezimal | Binär | Oktal | Hexadezimal |
|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Umrechnungsbeispiele
Von Dezimal zu Binär
13 ÷ 2 = 6 Rest 1
6 ÷ 2 = 3 Rest 0
3 ÷ 2 = 1 Rest 1
1 ÷ 2 = 0 Rest 1
Ergebnis: 13 (dezimal) = 1101 (binär)
Von Binär zu Dezimal
1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰
= 1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1
= 8 + 4 + 0 + 1
= 13 (dezimal)
Von Dezimal zu Hexadezimal
42 ÷ 16 = 2 Rest 10 (=A)
2 ÷ 16 = 0 Rest 2
Ergebnis: 42 (dezimal) = 2A (hexadezimal)
Von Hexadezimal zu Dezimal
2 × 16¹ + 10 × 16⁰
= 2 × 16 + 10 × 1
= 32 + 10
= 42 (dezimal)
Praktische Anwendungen
Binär
- Digitale Elektronik und Computer-Architektur
- Speicher und Datenverarbeitung
- Netzwerk-Protokolle und Datenübertragung
- Bitwise-Operationen in Programmierung
Oktal
- Unix/Linux Dateizugriffsrechte (chmod)
- Legale Oktalziffern in älteren Systemen
- Escape-Sequenzen in Programmiersprachen
Dezimal
- Alltägliche Mathematik und Finanzwesen
- Allgemeine Datenverarbeitung
- Wissenschaftliche Berechnungen
Hexadezimal
- Speicheradressen und Debuggen
- Farben in HTML/CSS (#FF5733)
- Unicode und Character Codes
- Programmierung und Maschinencode
- Netzwerk-MAC-Adressen
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