Vektor Betragsquadrat berechnen
Rechner und Formel zur Berechnung des Betragsquadrat eines Vektors
Der Rechner auf dieser Seite berechnet den Betragsquadrat von Vektoren mit 2, 3 oder 4 Elementen.
Zur Berechnung wählen Sie die Anzahl der Elemente (3 ist voreingestellt). Geben Sie die Werte des Vektors ein und klicken Sie auf den Button 'Rechnen'.
Für leere Felder wird der Wert 0 angenommen.
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Formeln und Beispiele
Der Betrag eines Vektors ist dessen Länge und kann mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden. Danach ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten. Die Längen der Katheten entsprechen den jeweiligen Koordinaten des Vektors.
Die folgende Abbildung zeigt den Vektor \(\left[\matrix{4\\3}\right]\) in einer Ebene.
Der Betrag ist die Länge des Vektors, sie entspricht der Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.
Der Betrag für den Vektor \(\displaystyle \left[\matrix{a\\b}\right]\) kann also berechnet werden \(\displaystyle |v|=\sqrt{a^2+b^2}\)
Beispiel
\(|v|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)
Das Gleiche Verfahren gilt auch für Vektoren mit mehr als zwei Elementen.
\(\left|\left[\matrix{1\\2\\2}\right]\right|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3\)
\(\left|\left[\matrix{-4\\6\\-12}\right]\right|=\sqrt{(-4)^2+6^2+(-12)^2}=\sqrt{16+36+144}=\sqrt{196}=14\)
Betragsquadrat
Die Formel für das Quadrat des Betrags kann von der Formel oben abgeleitet werden werden
\(\displaystyle |v|^2=\sqrt{a^2+b^2}\)
Beispiel
\(|v|^2=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=25\)
Weitere Vektor Funktionen
Addition • Subtraktion • Multiplikation • Skalar Multiplikation • Division • Skalar Division • Skalarprodukt • Kreuzprodukt • Interpolation • Distanz • Distanz-Quadrat • Normierung • Spiegelung • Betrag • Betragsquadrat • Spatprodukt
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