Vektor Multiplikation

Rechner und Formel zur komponentenweisen Multiplikation von 2D-, 3D- und 4D-Vektoren

Vektor Multiplikation Rechner

Komponentenweise Vektormultiplikation

Multipliziert zwei Vektoren v₁ × v₂ durch komponentenweise Multiplikation: [x₁×x₂, y₁×y₂, z₁×z₂]

Nicht zu verwechseln mit Skalar- oder Kreuzprodukt

Dies ist eine element-weise Multiplikation (Hadamard-Produkt). Für Skalarprodukt oder Kreuzprodukt nutzen Sie die entsprechenden anderen Rechner.

Wählen Sie die Vektordimension
Erster Faktor (v₁)
X-Komponente
Y-Komponente
Z-Komponente
W-Komponente
Zweiter Faktor (v₂)
X-Komponente
Y-Komponente
Z-Komponente
W-Komponente
Multiplikationsergebnis
X:
Y:
Z:
W:
Produktvektor:
Komponenten werden paarweise multipliziert: v₁ × v₂ = [x₁×x₂, y₁×y₂, ...]

Multiplikation Info

Element-wise Eigenschaften

Hadamard-Produkt: Entsprechende Komponenten werden multipliziert

Kommutativ Assoziativ Element-weise

Unterschied: Nicht Skalar- oder Kreuzprodukt
Resultat: Neuer Vektor gleicher Dimension

Beispiele
[2, 3, 4] × [5, 4, 3] = [10, 12, 12]
[1, 2] × [3, 4] = [3, 8]
[x, y, z] × [1, 1, 1] = [x, y, z]

Formeln für Vektormultiplikation

2D Element-wise Multiplikation
\[\left[\matrix{a\\b}\right] \circ \left[\matrix{c\\d}\right] = \left[\matrix{a \cdot c\\b \cdot d}\right]\]

Hadamard-Produkt in der Ebene

3D Element-wise Multiplikation
\[\left[\matrix{a\\b\\c}\right] \circ \left[\matrix{x\\y\\z}\right] = \left[\matrix{a \cdot x\\b \cdot y\\c \cdot z}\right]\]

Komponenten paarweise multipliziert

4D Element-wise Multiplikation
\[\left[\matrix{a\\b\\c\\d}\right] \circ \left[\matrix{w\\x\\y\\z}\right] = \left[\matrix{a \cdot w\\b \cdot x\\c \cdot y\\d \cdot z}\right]\]

Höherdimensionale Element-wise Multiplikation

Allgemeine Regel
\[(\vec{v_1} \circ \vec{v_2})_i = (v_1)_i \cdot (v_2)_i\]

Komponentenweise Multiplikation

Rechenbeispiele für Vektormultiplikation

Beispiel 1: 3D Multiplikation
[2, 3, 4] × [5, 4, 3]
\[\vec{v_1} \circ \vec{v_2} = \left[\matrix{2 \cdot 5\\3 \cdot 4\\4 \cdot 3}\right] = \left[\matrix{10\\12\\12}\right]\]

Ergebnis: [10, 12, 12]

Beispiel 2: 2D Multiplikation
[6, -4] × [2, 3]
\[\vec{u} \circ \vec{w} = \left[\matrix{6 \cdot 2\\-4 \cdot 3}\right] = \left[\matrix{12\\-12}\right]\]

Ergebnis: [12, -12]

Schritt-für-Schritt Berechnung
X: 2 × 5 = 10
Y: 3 × 4 = 12
Z: 4 × 3 = 12

Jede Komponente wird separat multipliziert

Vergleich verschiedener Vektorprodukte
Element-wise (×)

• [a, b] × [c, d] = [ac, bd]

• Gleiche Dimension

• Hadamard-Produkt

Skalarprodukt (·)

• [a, b] · [c, d] = ac + bd

• Ergebnis: Skalar

• Dot-Product

Kreuzprodukt (×)

• Nur für 3D-Vektoren

• Ergebnis: Orthogonaler Vektor

• Cross-Product

Anwendungen der Element-wise Multiplikation

Element-wise Multiplikation findet Anwendung in verschiedenen technischen und wissenschaftlichen Bereichen:

Datenverarbeitung & Signale
  • Filterung und Gewichtung von Signalen
  • Fensterfunktionen in der Spektralanalyse
  • Maskenoperationen in Bildern
  • Punktweise Skalierung von Datensätzen
Machine Learning
  • Neuronale Netze: Aktivierungsfunktionen
  • Feature-wise Gewichtungen
  • Element-wise Attention Mechanismen
  • Dropout und Regularisierung
Computer Graphics
  • RGB-Farbmischungen und Modulationen
  • Textur-Blending und Maskenoperationen
  • Lighting-Berechnungen per Komponente
  • Alpha-Blending und Transparenz
Wissenschaft & Simulation
  • Komponentenweise Skalierung physikalischer Größen
  • Finite-Elemente-Methoden
  • Statistische Gewichtungen
  • Koordinaten-Transformationen

Element-wise Multiplikation: Das Hadamard-Produkt

Die element-wise Vektormultiplikation, auch Hadamard-Produkt genannt, ist eine fundamentale Operation, die entsprechende Komponenten zweier Vektoren miteinander multipliziert. Anders als Skalar- oder Kreuzprodukt erzeugt sie einen neuen Vektor gleicher Dimension. Diese Operation ist besonders wertvoll in der digitalen Signalverarbeitung, beim maschinellen Lernen und in der Computer-Grafik, wo punktweise Operationen häufig benötigt werden.

Zusammenfassung

Die element-wise Multiplikation erweitert die Vektoroperationen um eine praktische, intuitive Methode zur komponentenweisen Verknüpfung. Die einfache Regel - entsprechende Komponenten multiplizieren - ermöglicht effiziente Filterungen, Gewichtungen und Modulationen in verschiedenen Anwendungsbereichen. Von der Bildverarbeitung über neuronale Netze bis zur wissenschaftlichen Simulation bietet das Hadamard-Produkt eine direkte Methode zur punktweisen Manipulation von Vektordaten. Es zeigt, wie einfache mathematische Operationen komplexe praktische Probleme elegant lösen können.

Weitere Vektor Funktionen

Addition • Subtraktion • Multiplikation • Skalar Multiplikation • Division • Skalar Division • Skalarprodukt • Kreuzprodukt • Interpolation • Distanz • Distanz-Quadrat • Normierung • Spiegelung • Betrag • Betragsquadrat • Spatprodukt