Spatprodukt berechnen
Onlinerechner zum Berechnen des Vektor Spatprodukt
Diese Funktion berechnet das Spatprodukt dreier Vektoren. Mit dem Spatprodukt wird das Volumen berechnen, das von drei Vektoren aufgespannt wird.
Zur Berechnung geben Sie die Werte der drei Vektoren ein, dann klicken Sie auf den Button 'Rechnen'
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Formeln und Beispiele zum Spatprodukt
Mit dem Spatprodukt wird das Volumen berechnen, das von drei Vektoren aufgespannt wird.
1. Spatprodukt über Kreuzprodukt und Skalarprodukt berechnen
\(\displaystyle Spatprodukt = (\vec{a} \times \vec{b})·\vec{c} \) \(\displaystyle = \left( \left[\matrix{a_1\\a_2\\a_3}\right] \times \left[\matrix{b_1\\b_2\\b_3}\right]\right) ·\left[\matrix{c_1\\c_2\\c_3}\right] \)
Beispiel
\(\displaystyle \vec{a}=\left[\matrix{1\\1\\1}\right] \; \vec{b}=\left[\matrix{2\\1\\3}\right] \;\vec{c}=\left[\matrix{6\\0\\-2}\right] \)
Kreuzprodukt berechnen
\(\displaystyle \;\;\; \left[\matrix{a_1\\a_2\\a_3}\right] \times \left[\matrix{b_1\\b_2\\b_3}\right] =\left[\matrix{a_2·b_3-a_3·b_2\\a_3·b_1-a_1·b_3\\a_1·b_2-a_2·b_1}\right] \)
\(\displaystyle = \left[\matrix{1\\1\\1}\right] \times \left[\matrix{2\\1\\3}\right] =\left[\matrix{1·3-1·1\\1·2-1·3\\1·1-1·2}\right] =\left[\matrix{2\\-1\\-1}\right]\)
Skalarprodukt berechnen
\(\displaystyle \left[\matrix{x_1\\x_2\\x_3}\right] \cdot \left[\matrix{y_1\\y_2\\y_3}\right] \) \( = x_1\cdot y_1 + x_2\cdot y_2 +x_3\cdot y_3\)
\(\displaystyle \left[\matrix{2\\-1\\-1}\right] \cdot \left[\matrix{6\\0\\-2}\right] \) \( = 2\cdot 6 + (-1)\cdot 0 +(-1)\cdot(-2)\) \(\displaystyle = 12 +0+2=14\)
2. Spatprodukt über eine Matrix berechnen
Das Spatprodukt kann auch über die Determinante einer Matrix berechnet werden.
\(\displaystyle D=\left[\matrix{a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3} \right]\)
\(\displaystyle D=\left|\matrix{1&2&6\\1&1&0\\1&3&-2}\right|\)
\(\displaystyle V= 1\cdot1\cdot(-2)+2\cdot0\cdot1 +6\cdot1\cdot3\) \(\displaystyle + 6\cdot1\cdot1 -1\cdot0\cdot3 -2\cdot1\cdot(-2)=14\)
Weitere Vektor Funktionen
Addition • Subtraktion • Multiplikation • Skalar Multiplikation • Division • Skalar Division • Skalarprodukt • Kreuzprodukt • Interpolation • Distanz • Distanz-Quadrat • Normierung • Spiegelung • Betrag • Betragsquadrat • Spatprodukt
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