Natürliche und ganze Zahlen
Grundlagen der Zahlensysteme und algebraische Operationen
Natürliche Zahlen
Die Menge der natürlichen Zahlen bilden die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ..., n+1. Diese Menge wird mit dem Symbol ℕ bezeichnet.
Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, die zum Zählen verwendet werden. Diese Menge ist unendlich groß, denn jede Zahl n hat einen Nachfolger n + 1.
Operationen mit natürlichen Zahlen
Für natürliche Zahlen sind die folgenden Operationen definiert:
Beispiel: 5 + 3 = 8
Bei der Addition addiert man zwei Zahlen (a + b) zu einer neuen Zahl. Dabei sind a und b die Summanden und das Resultat die Summe.
Beispiele für Addition
- 2 + 3 = 5
- 10 + 7 = 17
- 100 + 50 = 150
Beispiel: 5 · 3 = 15
Bei der Multiplikation multipliziert man zwei Zahlen (a · b) zu einer neuen Zahl. Dabei heißen a und b Faktoren und das Resultat ist das Produkt.
Beispiele für Multiplikation
- 2 · 3 = 6
- 5 · 4 = 20
- 10 · 10 = 100
Addition und Multiplikation sind geschlossen auf den natürlichen Zahlen. Das bedeutet: Wenn man zwei natürliche Zahlen addiert oder multipliziert, erhält man immer wieder eine natürliche Zahl.
Ganze Zahlen
Die ganzen Zahlen erweitern den Bereich der natürlichen Zahlen um den negativen Bereich. Diese Menge wird mit dem Symbol ℤ bezeichnet.
Die ganzen Zahlen sind: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Sie enthalten alle natürlichen Zahlen, die Null und alle negativen Zahlen.
Warum brauchen wir ganze Zahlen?
Natürliche Zahlen können ohne Einschränkung addiert und multipliziert werden. Für Subtraktion und Division gilt das aber nur mit Einschränkung:
Mit natürlichen Zahlen funktioniert
- 7 - 5 = 2 ✓
- 8 ÷ 2 = 4 ✓
- 10 - 3 = 7 ✓
Mit 5 - 7 wird jedoch der Bereich der natürlichen Zahlen verlassen. Das Resultat -2 fällt in den Bereich der ganzen Zahlen.
5 - 7 = -2 (Ergebnis ist eine ganze Zahl)
Vergleich: Natürliche vs. Ganze Zahlen
| Eigenschaft | Natürliche Zahlen (ℕ) | Ganze Zahlen (ℤ) |
|---|---|---|
| Symbol | ℕ | ℤ |
| Bereich | 0, 1, 2, 3, ... | ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... |
| Negative Zahlen | Nein | Ja |
| Addition | Geschlossen | Geschlossen |
| Subtraktion | Nicht immer möglich | Immer möglich |
| Multiplikation | Geschlossen | Geschlossen |
| Division | Nicht immer möglich | Nicht immer möglich |
Ganze Zahlen sind eine Obermenge der natürlichen Zahlen. Das bedeutet: Alle natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen, aber nicht alle ganzen Zahlen sind natürliche Zahlen.
Praktische Anwendungen
Natürliche Zahlen
- Zählen von Objekten (Äpfel, Bücher, Personen)
- Größenangaben (Höhe, Gewicht, Entfernung)
- Indizes und Positionen in Listen oder Arrays
- Häufigkeiten und Anzahlen in der Statistik
Ganze Zahlen
- Temperaturangaben (über und unter dem Nullpunkt)
- Höhenunterschiede (über und unter Meeresspiegel)
- Kontostand (Guthaben und Schulden)
- Koordinaten in der Geometrie
- Zeit vor und nach einem Ereignis
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