Quadratische Gleichungen

In diesem Artikel wird eine wichtige Anwendung der komplexen Zahlen beschrieben, der Bereich der quadratischen Gleichungen. In dem Artikel Komplexe Zahlen wurde bereits ein Beispiel zur Lösbarkeit einer quadratischen Gleichung beschrieben, nämlich \(x^2 = -1\).

Hier wird gezeigt: Mit komplexen Zahlen sind alle quadratischen Gleichungen lösbar.

Wir kommen zurück auf die Gleichung \(x^2= -1\). Diese quadratische Gleichung ist im Bereich der reellen Zahlen nicht lösbar; aber im Bereich der komplexen Zahlen.

Die Gleichung \(z^2= -1\) besitzt die komplexe Lösung \(z = i\). Die Unbekannte \(z\) statt \(x\) weist darauf hin, dass eine komplexe Lösung erlaubt ist.

Offensichtlich ist aber auch die folgende Lösung zutreffend

\((-i)^2=(-1)^2·i^2=1·(-1)=-1\)

Also ist auch \(-i\) eine Lösung der Gleichung \(z^2 = -1\).

Die quadratische Gleichung \(z^2 = -1\) besitzt zwei Lösungen, nämlich die beiden konjugiert komplexen Zahlen \(z_1 = i\) und \(z_2 = -i\).

Als nächstes Beispiel lösen wir die Gleichung \(z^2 = -2\). Wir schreiben

\(z^2=2·(-1)\)

Die beiden konjugiert komplexen Lösungen lauten

\(z_1=\sqrt{2i}\)   und   \(z_2=-\sqrt{2i}\)

Die Gleichung \(z^2=-2=2·(-1)\) ist äquivalent zu der Gleichung

\(\displaystyle\frac{z^2}{2}=\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)^2=-1\) mit den beiden Lösungen   \(\displaystyle\frac{z_1}{\sqrt{2}}=i\)   und   \(\displaystyle\frac{z_2}{\sqrt{2}}=-1\)

Also \(z_1=\sqrt{2i}\)   und   \(z_2=-\sqrt{2i}\).

Quadratisches Ergänzen

Die im vorigen Abschnitt behandelte quadratische Gleichungen, in denen \(z\) nur als \(z^2\) vorkam, konnten wir leicht lösen. In diesem Abschnitt behandeln wir eine quadratische Gleichung von der Form   \(az^2+bz^2 +c = 0\)   mit   \(a,b,c\)   reell und   \(a\not =0\) .

Als Beispiel berechnen wir die folgende quadratische Gleichung

\(z^2-6z+13=0\)

Wir versuchen, die Lösungsmethode aus dem vorigen Abschnitt auf diese Gleichung anzuwenden. Um die linke Seite der Gleichung als Quadrat zu schreiben, benutzen wir die Methode des quadratischen Ergänzens. In unserem Beispiel sieht dies folgendermaßen aus.

\(0=z^2-6z+13=z^2-2·3z+3^2-3^2+13=(z-3)^2-9+13=(z-3)^2+4)\)

Der Summand \(-6z\) wird als Produkt   \(-2·3z\)   in der zweiten binomischen Formel aufgefasst und durch quadratisches Ergänzen \(+3^2-3^2\)   der quadratische Term \((z-3)^2\)   erzeugt.

Die Gleichung   \(z^2-6z+13=0\)   ist somit äquivalent zur Gleichung \((z-3)^2+4=0\). Die umgeformte Gleichung sieht nicht weniger komplizierter aus als zuvor, aber sie lässt sich wie die im vorigen Abschnitt behandelten Gleichungen lösen

Die Gleichung \((z-3)^2+4=0\) ist äquivalent zu \((z-3)^2 = -4=4·(-1)\)

Wenn wir daraus die Wurzel ziehen erhalten wir \(z-3=2i\) oder \(z-3 = -2i\)

Die Lösungen sind also \(z_1 = 3+2i\) und \(z_2=3-2i\)

Allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Wir verwenden wieder die allgemeine quadratische Gleichung von der Form

\(az^2+bz+c=0\)

Eine Division durch a liefert

\(\displaystyle z^2+\frac{b}{a}·z+\frac{c}{a}=0\)

Der Summand

\(\displaystyle\frac{b}{a}·z=2·\frac{b}{2a}·z\)

wird als Produkt einer binomischen Formel aufgefasst und die quadratische Ergänzung

\(\displaystyle +\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\)

durchgeführt

Daraus ergibt sich

\(\displaystyle 0=z^2+\frac{b}{a}·z+\frac{c}{a}=z^2+2·\frac{b}{2a}·z+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\)

\(\displaystyle = \left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a·a}=\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\)

Die Gleichung \(az^2+bz+c=0\) ist somit äquivalent zu der Gleichung

\(\displaystyle \left(z+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{(2a)^2}\)

Ob die Zahl auf der rechten Seite, positiv oder negativ ist, hängt davon ab, ob \(b^2-4ac\) positiv oder negativ ist. Der Nenner \((2a)^2\) ist immer positiv. Der Ausdruck \(D=b^2-4ac\) ist die Diskriminante der quadratischen Gleichung. Es hängt also vom Vorzeichen der Diskriminante ab, ob die quadratische Gleichung eine reelle oder nicht reelle Lösung besitzt.

Zur Lösung der Gleichung setzen wir D für \(b^2-4ac\) ein und schreiben

\(\displaystyle \left(z+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{D}{(2a)^2}\)

erhalten wir die beiden Lösungen

    \(\displaystyle z_1+\frac{b}{2a}= \frac{ω}{2a}\)   und   \(\displaystyle z_2+\frac{b}{2a}= \frac{-ω}{2a}\)

also   \(\displaystyle z_1+\frac{-b}{2a}+ \frac{ω}{2a}\)   und   \(\displaystyle z_2+\frac{-b}{2a}- \frac{ω}{2a}\)

Die Lösung schreiben wir kurz

\(\displaystyle z_{1,2}\frac{-b±ω}{2a}\)

Zusammenfassung

Die Lösung der quadratischen Gleichung \(az^2+bz+c=0\) mit \(a,b,c\) reell und lautet

\(\displaystyle z_{1,2}\frac{-b±ω}{2a}\)

Die komplexe Zahl ω ist \(ω^2=D=b^2-4ac\)

Je nach Vorzeichen der Diskriminante D lauten die Lösungen folgendermaßen

Ist \(D>0\), dann sind \(z_1\) und \(z_2\) reell.

Ist \(D=0\), dann sind \(z_1=z_2\) reell

Ist \(D < 0\), dann ist \(z_1\) und \(z_2\) zueinander konjugiert komplex.