Komplexe Zahlen konjugieren und dividierenn

Konjugieren einer komplexen Zahlen

Bevor wir zur Division von komplexen Zahlen kommen, fuhren wir einen neuen Begriff ein. Jede komplexe Zahl besitzt eine so genannte konjugiert komplexe Zahl. Diese konjugiert komplexe Zahlen werden hier bei der Division benötigt, aber wir werden auch in anderen Kapiteln ebenfalls darauf zurückkommen.

Als Beispiel nehmen wir die Zahl \(5+3i\) . Die zu\(5+3i\) konjugiert komplexe Zahl ist\(5-3i\) Die Realteile der beiden Zahlen sind gleich, die Imaginärteile der beiden unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.

Sehen wir uns das Produkt der beiden Zahlen an

\((5+3i)·(5-3i)=25-15i+15i-9i^2=25+9=34\)

Das Produkt der komplexen Zahlen und ihrer konjugierten ist reell. Dies ist eine besondere Eigenschaft konjugiert komplexer Zahlen, die sich immer wieder als nützlich erweisen wird.

Für die konjugiert komplexe Zahl   \(a-bi\)   schreibt man   \(\overline{z}=a-bi\).

Im Beispiel oben gilt also  \(\overline{5+3i}=5-3i\)

Division

Befassen wir uns jetzt dem Dividieren von komplexen Zahlen. Im nächsten Beispiel werden wir die Zahl \(3 + i\) durch die Zahl \(1 - 2i\) teilen. Gesucht ist also

\(\displaystyle(3+i)\,/\,(1-2i)=\frac{3+i}{1-2i}\)

Nach dem Permanenz-Prinzip sollen die Rechenregeln der reellen Zahlen hier gültig sein. Dabei stört uns, dass im Nenner des Bruchs das \(i\) vorkommt. Durch eine reelle Zahl zu teilen wäre dagegen ganz einfach.

Hier kommt die konjugiert komplexe Zahl ins Spiel. Der Bruch wird um die konjugiert komplexe Zahl \(1 + 2i\) des Nenners erweitert. Dadurch kann das \(i\) im Nenner gekürzt werden und der Nenner wird eine reelle Zahl. Nur im Zähler bleibt eine komplexe Zahl, die aber leicht ausmultipliziert werden kann.

Die Division sieht also folgendermaßen aus

\(\displaystyle\frac{3+i}{1-2i}=\frac{(3+i)·(1+2i)}{(1-2i)·(1+2i)}=\frac{3+6i+i-2}{1+2i-2i+4}=\frac{1+7i}{5}=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i\)

Das Ergebnis lautet \(\displaystyle\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i\)

Dieser Artikel beschrieb die Division komplexer Zahlen in Normalform. Einfacher zu berechnen ist die Division komplexer Zahlen in Polarform.