Konjugieren und Dividieren komplexer Zahlen

Konjugierte Zahlen und Division in Normalform und Polarform

Die konjugiert komplexe Zahl und die Division sind zwei wichtige Konzepte bei komplexen Zahlen. Die konjugierte Zahl wird nicht nur für die Division benötigt, sondern auch in vielen anderen Bereichen der Mathematik und Physik.

Konjugiert komplexe Zahlen

Jede komplexe Zahl besitzt eine konjugiert komplexe Zahl (oder kurz: Konjugierte). Sie entsteht, indem man das Vorzeichen des Imaginärteils umkehrt.

Definition der konjugierten Zahl:

Ist z = a + bi, dann ist z̄ = a - bi

Die Konjugierte wird mit einem Strich über dem Symbol (z̄) oder manchmal als z* geschrieben.

Beispiele von konjugierten Zahlen

Verschiedene Paare
Komplexe Zahl z Konjugierte z̄ Realteil Imaginärteil ändert sich
5 + 3i 5 - 3i Gleich (5) 3 → -3
2 - 4i 2 + 4i Gleich (2) -4 → 4
-3 + 2i -3 - 2i Gleich (-3) 2 → -2
6 (rein reell) 6 Gleich (6) Keine Änderung
3i (rein imaginär) -3i Gleich (0) 3 → -3

Wichtige Eigenschaft: Produkt mit der Konjugierten

Eine besondere Eigenschaft: Das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer Konjugierten ist immer reell!

Produkt mit Konjugierter:

z · z̄ = (a + bi) · (a - bi) = a² + b² = |z|²

Das Ergebnis ist immer eine reelle Zahl und entspricht dem Quadrat des Betrags!

Beispiel: Produkt mit Konjugierter

Berechnen Sie (5 + 3i) · (5 - 3i)

Gegeben: z = 5 + 3i, z̄ = 5 - 3i
Multiplikation: (5 + 3i) · (5 - 3i)
Ausmultiplizieren: 25 - 15i + 15i - 9i²
i² ersetzen: 25 - 9(-1)
Berechnung: 25 + 9 = 34
Ergebnis: Eine reelle Zahl (34)!
Produkt konjugierter Zahlen
Geometrische Interpretation:

In der Gauß'schen Zahlenebene spiegelt die Konjugation eine komplexe Zahl an der reellen Achse (x-Achse). Der Betrag bleibt gleich, nur das Vorzeichen des Imaginärteils ändert sich.

Eigenschaften der Konjugierten

Doppelte Konjugation

z̄̄ = z

Die Konjugierte der Konjugierten ist wieder z

Addition

(z₁ + z₂)̄ = z̄₁ + z̄₂

Konjugation ist linear

Subtraktion

(z₁ - z₂)̄ = z̄₁ - z̄₂

Auch bei Subtraktion linear

Multiplikation

(z₁ · z₂)̄ = z̄₁ · z̄₂

Multiplikative Struktur erhalten

Division

(z₁/z₂)̄ = z̄₁/z̄₂

Auch bei Division erhalten

Betrag

|z̄| = |z|

Konjugierte hat gleichen Betrag

Division komplexer Zahlen

Die Division zweier komplexer Zahlen ist mit Hilfe der konjugierten Zahl elegant zu lösen. Der Trick: Wir erweitern den Bruch mit der Konjugierten des Nenners!

Formel für Division (Normalform):

z₁/z₂ = (z₁ · z̄₂)/(z₂ · z̄₂) = (z₁ · z̄₂)/(a² + b²)

Die Erweiterung mit der Konjugierten des Nenners macht diesen zu einer reellen Zahl.

Beispiel 1: Division mit positiven Komponenten

Teilen Sie z₁ = 3 + i durch z₂ = 1 - 2i

Gegeben: z₁ = 3 + i, z₂ = 1 - 2i
Aufschreiben: (3 + i) / (1 - 2i)
Konjugierte des Nenners: z̄₂ = 1 + 2i
Mit Konjugierter erweitern: [(3 + i) · (1 + 2i)] / [(1 - 2i) · (1 + 2i)]
Zähler: (3 + i)(1 + 2i) = 3 + 6i + i + 2i² = 3 + 7i - 2 = 1 + 7i
Nenner: (1 - 2i)(1 + 2i) = 1 - 4i² = 1 + 4 = 5
Resultat: (1 + 7i) / 5 = 1/5 + 7i/5 = 0,2 + 1,4i
Division mit Konjugierter

Beispiel 2: Mit negativen Komponenten

Teilen Sie z₁ = 2 - 3i durch z₂ = 1 + i

Gegeben: z₁ = 2 - 3i, z₂ = 1 + i
Aufschreiben: (2 - 3i) / (1 + i)
Konjugierte des Nenners: z̄₂ = 1 - i
Mit Konjugierter erweitern: [(2 - 3i) · (1 - i)] / [(1 + i) · (1 - i)]
Zähler: (2 - 3i)(1 - i) = 2 - 2i - 3i + 3i² = 2 - 5i - 3 = -1 - 5i
Nenner: (1 + i)(1 - i) = 1 - i² = 1 + 1 = 2
Resultat: (-1 - 5i) / 2 = -1/2 - 5i/2 = -0,5 - 2,5i

Beispiel 3: Spezialfall - Division durch rein imaginäre Zahl

Teilen Sie z₁ = 4 + 2i durch z₂ = 2i

Gegeben: z₁ = 4 + 2i, z₂ = 2i
Konjugierte des Nenners: z̄₂ = -2i
Zähler: (4 + 2i) · (-2i) = -8i - 4i² = -8i + 4 = 4 - 8i
Nenner: 2i · (-2i) = -4i² = 4
Resultat: (4 - 8i) / 4 = 1 - 2i

Division in Polarform

Wie bei der Multiplikation ist die Division in Polarform deutlich einfacher!

Division in Polarform:

z₁/z₂ = (r₁/r₂) · e^(i(φ₁ - φ₂))

In Worte: Beträge dividieren, Winkel subtrahieren!

Geometrische Interpretation:
  • Betrag des Quotienten = Quotient der Beträge: |z₁/z₂| = |z₁| / |z₂|
  • Winkel des Quotienten = Differenz der Winkel: arg(z₁/z₂) = arg(z₁) - arg(z₂)
  • Geometrisch: Inverse Rotation und Skalierung

Übersicht: Divisionen

z₁ z₂ z₁/z₂ Schritte
2 + 4i 1 + i 3 + i Mit (1-i) erweitern
5 2 - i 2 + i Mit (2+i) erweitern
3i 1 + 2i -6/5 + 3i/5 Mit (1-2i) erweitern
1 + i i 1 - i Mit (-i) erweitern

Praktische Anwendungen

Elektrotechnik

  • Impedanz: Z = U/I (Spannung durch Strom)
  • Admittanz: Y = 1/Z (Kehrwert der Impedanz)
  • Leistungsfaktor: cos(φ) bestimmt durch Division komplexer Größen

Signalverarbeitung

  • Übertragungsfunktion: H(s) = Y(s)/X(s) (Ausgang/Eingang)
  • Frequenzgang: H(jω) für verschiedene Frequenzen

Quantenmechanik

  • Normalisierung: ⟨ψ|ψ⟩ mit konjugierter Wellenfunktion
  • Erwartungswerte: ⟨ψ|Â|ψ⟩ mit Operatoren

Tipps und häufige Fehler

Tipps zum Dividieren:
  • Immer mit der Konjugierten erweitern: Das ist der Schlüssel!
  • Nenner wird zu a² + b²: Eine reelle Zahl
  • Zähler ausmultiplizieren: Dann Real- und Imaginärteil trennen
  • Überprüfen mit Betrag: |z₁/z₂| = |z₁| / |z₂|
  • In Polarform einfacher: Beträge dividieren, Winkel subtrahieren
Häufige Fehler:
  • FALSCH: Nenner nicht ändern, wenn man mit Konjugierter erweitert | RICHTIG: Nenner wird zu a² + b²
  • FALSCH: Vergessen, dass i² = -1 | RICHTIG: Immer ersetzen!
  • FALSCH: Nur Realteile dividieren | RICHTIG: Kompletten Zähler und Nenner berechnen
  • FALSCH: In Polarform: arg(z₁/z₂) = arg(z₁) / arg(z₂) | RICHTIG: = arg(z₁) - arg(z₂)
  • FALSCH: Division durch 0 erlaubt | RICHTIG: z₂ ≠ 0 erforderlich!

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