Quadratische Gleichungen mit komplexen Zahlen

Lösungen quadratischer Gleichungen im komplexen Zahlenraum

Die wichtigste Anwendung komplexer Zahlen ist die Lösung von quadratischen Gleichungen. Mit komplexen Zahlen sind alle quadratischen Gleichungen lösbar - egal ob die Diskriminante positiv, negativ oder null ist!

In diesem Artikel werden wir sehen, dass die komplexen Zahlen genau deshalb erfunden wurden, um Gleichungen wie x² = -1 lösen zu können.

Einfache quadratische Gleichungen (nur z²)

Die Grundgleichung: z² = -1

Dies ist die Gleichung, die zeigt, warum komplexe Zahlen notwendig sind:

Im reellen Zahlenbereich:

Es gibt keine reelle Zahl x, für die x² = -1 gilt. Das Quadrat einer reellen Zahl ist immer ≥ 0.

Im komplexen Zahlenbereich:

Die Lösungen sind z₁ = i und z₂ = -i

Denn: i² = -1 und (-i)² = (-1)² · i² = 1 · (-1) = -1 ✓

Beispiel: z² = -2

Gegeben: z² = -2
Umformen: z² = 2 · (-1)
Wurzelziehen: z = ±√(2 · (-1))
Vereinfachen: z = ±√2 · √(-1) = ±√2 · i
Lösungen: z₁ = √2 · i ≈ 1,414i und z₂ = -√2 · i ≈ -1,414i
Weitere einfache Beispiele
Gleichung Lösungen Erklärung
z² = -4 z₁ = 2i, z₂ = -2i √(-4) = 2i
z² = -9 z₁ = 3i, z₂ = -3i √(-9) = 3i
z² = 4 z₁ = 2, z₂ = -2 Reelle Lösungen (keine i)

Quadratisches Ergänzen

Für allgemeine quadratische Gleichungen der Form z² + pz + q = 0 verwenden wir die Methode des quadratischen Ergänzens.

Beispiel: z² - 6z + 13 = 0

Gegeben: z² - 6z + 13 = 0
Quadratisches Ergänzen: z² - 6z + 9 - 9 + 13 = 0
Binomische Formel: (z - 3)² - 9 + 13 = 0
Vereinfachen: (z - 3)² + 4 = 0
Umformen: (z - 3)² = -4
Wurzelziehen: z - 3 = ±2i
Lösungen: z₁ = 3 + 2i, z₂ = 3 - 2i (konjugiert komplex!)
Wichtige Beobachtung:

Die beiden Lösungen z₁ = 3 + 2i und z₂ = 3 - 2i sind konjugiert komplex! Das ist immer der Fall, wenn die Diskriminante negativ ist.

Allgemeine Lösungsformel

Für die allgemeine quadratische Gleichung az² + bz + c = 0 gibt es eine universelle Formel.

Lösungsformel für quadratische Gleichungen:

z₁,₂ = (-b ± √D) / (2a)

wobei D = b² - 4ac die Diskriminante ist.

Die Diskriminante und ihre Bedeutung

D > 0

Zwei verschiedene reelle Lösungen

√D ist reell

D = 0

Eine doppelte reelle Lösung

z₁ = z₂ = -b/(2a)

D < 0

Zwei konjugiert komplexe Lösungen

√D ist imaginär

Beispiel 1: D > 0 (zwei reelle Lösungen)

Lösen Sie z² + z - 6 = 0

Parameter: a = 1, b = 1, c = -6
Diskriminante: D = 1² - 4·1·(-6) = 1 + 24 = 25
Da D > 0: Zwei reelle Lösungen zu erwarten
√D: √25 = 5
Lösungen: z₁ = (-1 + 5) / 2 = 2, z₂ = (-1 - 5) / 2 = -3
Verifikation: 2² + 2 - 6 = 0 ✓ und (-3)² - 3 - 6 = 0 ✓

Beispiel 2: D = 0 (doppelte Lösung)

Lösen Sie z² - 4z + 4 = 0

Parameter: a = 1, b = -4, c = 4
Diskriminante: D = (-4)² - 4·1·4 = 16 - 16 = 0
Da D = 0: Eine doppelte Lösung
Lösung: z = 4 / 2 = 2 (doppelt: z₁ = z₂ = 2)
Faktorform: (z - 2)² = 0

Beispiel 3: D < 0 (zwei konjugiert komplexe Lösungen)

Lösen Sie z² + 2z + 5 = 0

Parameter: a = 1, b = 2, c = 5
Diskriminante: D = 2² - 4·1·5 = 4 - 20 = -16
Da D < 0: Zwei konjugiert komplexe Lösungen
√D: √(-16) = 4i
Lösungen: z₁ = (-2 + 4i) / 2 = -1 + 2i
und: z₂ = (-2 - 4i) / 2 = -1 - 2i

Herleitung der Lösungsformel

Die Lösungsformel entsteht durch systematisches Anwenden des quadratischen Ergänzens auf die allgemeine Form az² + bz + c = 0.

Schritt 1: Durch a dividieren: z² + (b/a)z + (c/a) = 0
Schritt 2: Konstanten trennen: z² + (b/a)z = -(c/a)
Schritt 3: Quadratisch ergänzen: z² + 2·(b/2a)·z + (b/2a)² = (b/2a)² - (c/a)
Schritt 4: Binomische Formel: (z + b/2a)² = (b² - 4ac)/(4a²)
Schritt 5: Wurzelziehen: z + b/2a = ±√(b² - 4ac)/(2a)
Schritt 6: Auflösen: z = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)

Zusammenfassung und Übersicht

Fall Diskriminante Lösungstyp Beispiel
1 D > 0 2 verschiedene reelle Lösungen z² + z - 6 = 0 → z = 2 oder z = -3
2 D = 0 1 doppelte reelle Lösung z² - 4z + 4 = 0 → z = 2 (doppelt)
3 D < 0 2 konjugiert komplexe Lösungen z² + 2z + 5 = 0 → z = -1 ± 2i

Tipps und häufige Fehler

Wichtige Tipps:
  • Diskriminante berechnen: Bestimmt den Typ der Lösungen
  • Vorzeichen beachten: Vor allem bei b und c!
  • Verifikation: Lösungen immer einsetzen und überprüfen
  • Komplexe Wurzeln: √(-1) = i ist der Ausgangspunkt
  • Konjugierte Paare: Bei D < 0 sind die Lösungen immer konjugiert
Häufige Fehler:
  • FALSCH: D < 0 → keine Lösung | RICHTIG: D < 0 → komplexe Lösungen
  • FALSCH: √(-4) = 2 | RICHTIG: √(-4) = 2i
  • FALSCH: Vorzeichen von b vergessen | RICHTIG: z = (-b ± √D)/(2a)
  • FALSCH: Durch 2a statt 2a² dividieren | RICHTIG: Nenner ist 2a






















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