Komplexe Zahlen

Mathematische Lösungen und Beispiele zu komplexen Zahlen

Grundlagen Komplexer Zahlen

Grundlagen komplexer Zahlen

Einführung in das Konzept und die Notation komplexer Zahlen
Betrag (Absoluter Wert)

Berechnung des Betrags einer komplexen Zahl

Arithmetische Operationen

Addition und Subtraktion

Grundoperationen mit komplexen Zahlen
Multiplizieren

Multiplikation komplexer Zahlen in Normalform
Konjugieren und Dividieren

Komplexe Konjugation und Division

Gleichungen und Darstellung

Quadratische Gleichungen

Lösen von Gleichungen mit komplexen Lösungen
Geometrische Darstellung

Komplexe Zahlen in der Gauß'schen Ebene
Geometrische Addition

Vektorielle Addition in der komplexen Ebene

Polarform und Konvertierung

Polarform

Darstellung in Polarkoordinaten (r, θ)
Normalform zu Polarform

Umrechnung von a+bi in r(cos θ + i sin θ)
Polarform zu Normalform

Umrechnung von Polarkoordinaten in a+bi Form
Multiplikation in Polarform

Vereinfachte Multiplikation mit Polarkoordinaten

Über Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen erweitern das reelle Zahlensystem um die imaginäre Einheit i. Sie sind essentiell für viele Bereiche der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften.

  • Normalform - Darstellung a + bi
  • Polarform - Darstellung r·e^(iθ)
  • Operationen - Addition, Multiplikation, Division
  • Geometrische Ebene - Gauß'sche Ebene
  • Konjugation - Spiegelung an der reellen Achse
  • Betrag - Abstand vom Ursprung
Fundamentale Konzepte
Komplexe Zahl
z = a + bi
i² = -1
Betrag
|z| = √(a² + b²)
r = √(Re² + Im²)
Polarform
z = r(cos θ + i sin θ)
z = r·e^(iθ)
Konjugation
z* = a - bi
z · z* = |z|²
Lerntipp: Beginnen Sie mit der Normalform und visualisieren Sie komplexe Zahlen in der Gauß'schen Ebene. Die Polarform wird intuitiver, wenn Sie die geometrische Bedeutung verstehen.

Praktische Anwendungsbeispiele

Elektrotechnik & Signalverarbeitung
  • Impedanz: Z = R + jX (Ohm'sches Gesetz)
  • Fourier-Analyse: Signale in Frequenzbereich
  • Wechselstrom: Phasenversatz und Amplitude
Quantenmechanik
  • Wellenfunktionen: ψ(x,t) komplexwertig
  • Schrödinger-Gleichung: iℏ∂ψ/∂t = Ĥψ
  • Wahrscheinlichkeit: |ψ|²
Mechanik & Schwingungen
  • Gedämpfte Oszillationen: e^(-iωt)
  • Resonanz: Phasenlage und Amplitude
  • Modulation: Komplexe Träger
Fluiddynamik & Aerodynamik
  • Potential-Strömung: f(z) analytisch
  • Joukowsky-Transformation: Tragflächen
  • Wirbelströmungen: Zirkulation
Schnellreferenz
a + bi
Normalform
i² = -1
Imaginär
|z|
Betrag
z*
Konjugat
r·e^(iθ)
Polarform