Multiplikation komplexer Zahlen

Multiplikation in Normalform und Polarform

Die Multiplikation komplexer Zahlen ist komplexer als Addition und Subtraktion, folgt aber ebenfalls dem Permanenzprinzip. Wir verwenden die gleichen Rechenregeln wie bei reellen Zahlen und müssen nur beachten, dass i² = -1.

Es gibt zwei wichtige Methoden zur Multiplikation: in Normalform (a + bi) und in Polarform. Wir beginnen mit der Normalform.

Grundprinzip der Multiplikation

Die Multiplikation folgt dem Permanenzprinzip: Wir multiplizieren komplexe Zahlen wie Binome und nutzen die Tatsache, dass i² = -1.

Formel für Multiplikation (Normalform):

(a + bi) · (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Diese Formel entsteht durch Ausmultiplizieren (a + bi)(c + di) und Ersetzen von i² durch -1.

Herleitung der Formel

Ausgangsausdruck: (a + bi) · (c + di)
Ausmultiplizieren: ac + adi + bci + bdi²
Zusammenfassen: ac + adi + bci + bd(i²)
i² ersetzen: ac + adi + bci + bd(-1)
Vereinfachen: ac - bd + (ad + bc)i
Resultat: (ac - bd) + (ad + bc)i

Multiplikation in Normalform

Beispiel 1: Einfache Multiplikation

Multiplizieren Sie die komplexen Zahlen z₁ = 3 + i und z₂ = 1 - 2i

Gegeben: z₁ = 3 + i, z₂ = 1 - 2i
Aufschreiben: (3 + i) · (1 - 2i)
Ausmultiplizieren (distributiv): 3·1 + 3·(-2i) + i·1 + i·(-2i)
Vereinfachen: 3 - 6i + i - 2i²
i² ersetzen (-1): 3 - 6i + i - 2(-1)
Weiterrechnen: 3 - 6i + i + 2
Zusammenfassen: (3 + 2) + (-6 + 1)i = 5 - 5i
Resultat: z₁ · z₂ = 5 - 5i
Multiplikation Ausmultiplizieren

Visualisierung: Ausmultiplizieren (3 + i)(1 - 2i)

Beispiel 2: Mit negativen Komponenten

Multiplizieren Sie z₁ = 2 - 3i und z₂ = -1 + 2i

Gegeben: z₁ = 2 - 3i, z₂ = -1 + 2i
Aufschreiben: (2 - 3i) · (-1 + 2i)
Ausmultiplizieren: 2·(-1) + 2·(2i) + (-3i)·(-1) + (-3i)·(2i)
Vereinfachen: -2 + 4i + 3i - 6i²
i² ersetzen (-1): -2 + 4i + 3i - 6(-1)
Weiterrechnen: -2 + 4i + 3i + 6
Zusammenfassen: (4) + (7)i = 4 + 7i

Beispiel 3: Zwei rein imaginäre Zahlen

Multiplizieren Sie z₁ = 2i und z₂ = 3i

Gegeben: z₁ = 2i, z₂ = 3i
Multiplikation: 2i · 3i = 6i²
i² ersetzen (-1): 6 · (-1) = -6
Resultat: z₁ · z₂ = -6 (rein reelle Zahl!)
Wichtige Beobachtung:

Das Produkt zweier rein imaginärer Zahlen ist immer reell! Das liegt daran, dass (bi) · (di) = bdi² = bd(-1) = -bd.

Direkte Formel-Methode

Statt immer auszumultiplizieren, können wir auch direkt die Formel nutzen:

Direkte Berechnung mit Formel:

(a + bi) · (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Beispiel mit direkter Formel

Multiplizieren Sie z₁ = 3 + i und z₂ = 1 - 2i mit der Formel

Gegeben: a = 3, b = 1, c = 1, d = -2
Realteil ac - bd: 3·1 - 1·(-2) = 3 + 2 = 5
Imaginärteil ad + bc: 3·(-2) + 1·1 = -6 + 1 = -5
Resultat: z₁ · z₂ = 5 + (-5)i = 5 - 5i

Weitere Beispiele und Spezialfälle

z₁ z₂ z₁ · z₂ Besonderheit
1 + i 1 - i 1 - i + i - i² = 1 + 1 = 2 Konjugierte ergeben reelle Zahl
2 + 3i 1 2 + 3i Multiplikation mit 1 neutral
3 + 4i i 3i + 4i² = 3i - 4 = -4 + 3i Multiplikation mit i dreht um 90°
1 + i 1 + i 1 + i + i + i² = 1 + 2i - 1 = 2i (1+i)² = 2i
a + bi a - bi a² + b² Produkt mit konjugierter = Betrag²

Eigenschaften der Multiplikation

Kommutativität

z₁ · z₂ = z₂ · z₁

Die Reihenfolge ist egal

Assoziativität

(z₁ · z₂) · z₃ = z₁ · (z₂ · z₃)

Klammersetzung ist egal

Neutrales Element

z · 1 = z

Die Eins ist neutral

Inverses Element

z · (1/z) = 1 (für z ≠ 0)

Jede Zahl hat ein multiplikatives Inverses

Distributivgesetz

z₁(z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃

Multiplizieren ist distributiv über Addition

Mit Konjugierter

z · z̄ = |z|²

Produkt = Quadrat des Betrags

Multiplikation in Polarform

Die Multiplikation ist in Polarform deutlich einfacher! Wenn eine komplexe Zahl als z = r·e^(iφ) geschrieben wird:

Multiplikation in Polarform:

z₁ · z₂ = r₁ · r₂ · e^(i(φ₁ + φ₂))

In Worte: Beträge multiplizieren, Winkel addieren!

Geometrische Interpretation:
  • Betrag des Produkts = Produkt der Beträge: |z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂|
  • Winkel des Produkts = Summe der Winkel: arg(z₁ · z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)
  • Geometrisch: Rotation und Skalierung kombiniert

Praktische Anwendungen

Elektrotechnik

  • Impedanz: Z = R + iX (Widerstand und Reaktanz)
  • Leistungsberechnung: S = V · I* (konjugiert komplexe Größen)
  • Filter: Frequenzgang durch komplexe Übertragungsfunktion

Signalverarbeitung

  • Fourier-Transformation: Multiplikation komplexer Exponentiellen
  • Laplace-Transformation: Systemanalyse mit komplexen Funktionen
  • Filter-Design: Polverlagerung durch komplexe Polynome

Quantenmechanik

  • Wellenfunktionen: Ψ(x,t) = A·e^(i(kx-ωt))
  • Operatoren: Multiplikation von Operatoren und Zuständen

Tipps und häufige Fehler

Tipps zum Multiplizieren:
  • Merken Sie sich i² = -1: Das ist der Schlüssel!
  • Verwenden Sie die Formel oder multiplizieren Sie aus: Beide Methoden funktionieren
  • Sammeln Sie Real- und Imaginärteile: Nicht durcheinander bringen
  • Überprüfen Sie mit Betrag: |z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂|
  • Bei Polarform: Winkel immer addieren, nicht multiplizieren!
Häufige Fehler:
  • FALSCH: i² = 1 | RICHTIG: i² = -1
  • FALSCH: Nur die Realteile multiplizieren | RICHTIG: Alles ausmultiplizieren!
  • FALSCH: (a + bi)(c + di) = ac + bdi | RICHTIG: = (ac - bd) + (ad + bc)i
  • FALSCH: |z₁ · z₂| = |z₁| + |z₂| | RICHTIG: = |z₁| · |z₂|
  • FALSCH: In Polarform: arg(z₁ · z₂) = arg(z₁) · arg(z₂) | RICHTIG: = arg(z₁) + arg(z₂)

Online-Tool

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