Beschreibung mit Beispielen zur Berechnung der Polarform von komplexen Zahlen
In dem Artikel über die geometrische Darstellung komplexer Zahlen wurde beschrieben, dass sich jede komplexe Zahl \(z\) in der Gaußschen Zahlenebene als Vektor darstellen lässt. Dieser Vektor ist durch den Realteil und den Imaginärteils der komplexen Zahl \(z\) eindeutig festgelegt.
Ein vom Nullpunkt ausgehender Vektor lässt sich aber auch als Zeiger aufaßen. Dieser Zeiger ist eindeutig festgelegt durch seine Länge und dem Winkel\(φ\) zur reellen Achse.
Die folgende Abbildung zeigt den Vektor mit der Länge \(r = 2\) und dem Winkel \(φ = 45°\)
Positive Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn gemessen, negative Winkel im Uhrzeigersinn.
Eine komplexe Zahl kann in der Polarform somit eindeutig durch das Paar \((|z|, φ)\) definiert werden. \(φ\) ist dabei der zum Vektor gehörende Winkel. Die Länge des Vektors \(r\) entspricht dem Betrag \(|z|\) der komplexen Zahl.
Man schreibt für Betrag und Argument von \(z \)
\(r = |z|\) und \(φ = arg(z)\)
Die allgemeine Schreibweise \(z = a + bi\) nennt man Normalform (im Gegensatz zu der oben beschriebenen Polarform).
In diesem Artikel wird die Umrechnung von der Polarform in die Normalform einer komplexen Zahl beschrieben.
Wenn der Betrag und der Winkel einer komplexen Zahl bekannt sind kann daraus der reale und imaginäre Wert berechnet werden.
Bei der Darstellung mittels Ortsvektoren ergibt sich immer ein rechtwinkliges Dreieck, das aus den beiden Katheten \(a\) und \(b\) und der Hypotenuse \(z\) besteht. Die Umrechnung kann daher mit Hilfe trigonometrischer Funktionen durchgeführt werden. Bezogen auf die Abbildung unten gilt.
\(Re=r·cos(φ)\) \(Im=r·sin(φ)\)
Zur Umrechnung einer komplexen Zahl von Polar- in Normalform gilt also
\(z=r·cos(φ)+ir·sin(φ)=a+bi\)
Dieser Artikel beschreibt die Bestimmung der Polarkoordinaten einer komplexen Zahl durch die Berechnung des Winkel \(φ\) und die Länge des Vektors \(z\).
Der Radius \(r\) der Polarform ist identisch mit dem Betrag \(|z|\) der komplexen Zahl. Die Formel zur Berechnung des Radius ist folglich die gleiche die in dem Artikel Betrag einer komplexen Zahl beschrieben wurde.
Für die Länge \(r\) des Zeigers ergibt sich
\(r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{Re^2+Im^2}\)
Wenn sich der Vektor im 1. oder 2. Quadranten befindet gilt für den Winkel \(φ\)
\(\displaystyle φ=arccos\left(\frac{a}{r}\right)=arccos\left(\frac{Re}{|z|}\right)\)
oder sonst
\(\displaystyle φ=arctan\left(\frac{b}{a}\right)=arctan\left(\frac{Im}{Re}\right)\)
Bei der Berechnung des Winkels muss berücksichtigt werden in welchem Quadranten sich der Vektor befindet. Betrachten wir dazu die folgende Abbildung:
Für die komplexe Zahl \(3 + 4i\) in der Abbildung oben ist der Betrag
\(|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)
Der Winkel ist
\(\displaystyle φ=arccos\left(\frac{Re}{|z|}\right)=arccos\left(\frac{3}{5}\right)=53.1°\)
Für die komplexe Zahl \(3 - 4i\) ist der Betrag auch
\(|z|=\sqrt{3^2-4^2}=5\)
Die Berechnung des Winkels ergibt ebenfalls \(53.1°\). In diesem Fall muss zu dem berechneten Winkel noch \(180°\) hinzu addiert werden um in den richtigen Quadranten zu gelangen.
Nach der Berechnung des Winkels \(φ\) mit Hilfe des Arcussinus muss immer eine Prüfung des Quadranten durchgeführt werden. Bei einer negativen imaginären Einheit muss der Winkel korrigiert werden.
Für eine komplexe Zahl \(a + bi\) gilt
Wenn \(b ≥ 0\) ist \(\displaystyle φ=arccos\left(\frac{a}{|z|}\right)\)
Wenn \(b < 0\) ist \(\displaystyle φ= 360 - arccos\left(\frac{a}{|z|}\right)\)
oder \(\displaystyle φ= 2π - arccos\left(\frac{a}{|z|}\right)\) wenn in Radiant gerechnet wird
In den Rechnungen oben wird der Winkel zwischen \(0°\) und \(360°\) als Winkel \(φ\) zur reellen Achse angegeben. Der Winkel kann auch zwischen \(0°\) und \(± 180°\) angegeben werden.
\(Arg (3 + 4i) = 53.1\)
\(Arg (3 − 4i) = −53.1\)
\(Arg (−3 + 4i)=127\)
\(Arg (−3 − 4i)=−127\)
Mit dieser Darstellung komplexer Zahlen in Polarform wird auch die Multiplikation komplexer Zahlen einfacher. Bei der Multiplikation werden die Winkel addiert und die Länge der Vektoren multipliziert.
Die Abbildung unten zeigt das Beispiel einer geometrischen Darstellung einer Multiplikation der komplexeren Zahlen \(2+2i\) und \(3+1i\)
Für die Multiplikation in Polarform gilt
\(z_1·z_2=|z_1·|z_2|\) und \(Arg(z_1)+Arg(z_2)\)
Aus der Handhabung der Multiplikation lässt sich nun auf die Division zweier komplexer Zahlen in Polarform schließen. Komplexe Zahlen werden dividiert, indem man ihre Beträge dividiert und ihre Argumente subtrahiert. Es gilt
\(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|}{z_2}\) und \(Arg(z_1)- Arg(z_2)\)
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