Umwandlung: Normalform → Polarform

Schritt für Schritt vom kartesischen zum Polarkoordinaten-System

Die Umwandlung einer komplexen Zahl von der Normalform (z = a + bi) in die Polarform (z = r·e^(iφ)) ist ein fundamentales Konzept. Dieser Prozess erfordert die Berechnung von zwei Werten: dem Betrag r und dem Argument φ.

Schritt 1: Berechnung des Betrags

Der Betrag einer komplexen Zahl ist die Länge des Vektors vom Ursprung zum Punkt (a, b) in der Gaußschen Zahlenebene. Er wird nach dem Satz des Pythagoras berechnet.

Betrag (Modulus):

r = |z| = √(a² + b²)

Der Betrag ist immer eine nicht-negative reelle Zahl (r ≥ 0)

Betrag einer komplexen Zahl
Praktisches Beispiel: z = 3 + 4i
Gegeben: z = 3 + 4i → a = 3, b = 4
Formel: r = √(a² + b²)
Einsetzen: r = √(3² + 4²)
Berechnung: r = √(9 + 16) = √25 = 5
Resultat: Der Betrag ist 5

Schritt 2: Berechnung des Arguments

Das Argument ist der Winkel φ, den der Vektor mit der positiven reellen Achse (x-Achse) einschließt. Die Berechnung hängt vom Quadranten ab, in dem die komplexe Zahl liegt.

Zwei Berechnungsmethoden

Mit Arcus Cosinus

φ = arccos(a/r)

Nutzt den Realteil und den Betrag

Mit Arcus Tangens

φ = arctan(b/a)

Nutzt das Verhältnis Imaginärteil/Realteil

Argument mit Arcus Cosinus

Abbildung 1: Berechnung des Arguments mit arccos

Argument mit Arcus Tangens

Abbildung 2: Berechnung des Arguments mit arctan

Wichtig: Quadrantenbeachten

Die arctan- und arccos-Funktionen geben nur eingeschränkte Winkelbereich zurück. Je nachdem, in welchem Quadranten die komplexe Zahl liegt, muss eine Korrektur durchgeführt werden.

Quadranten in der Gaußschen Ebene

Abbildung 3: Die vier Quadranten und Beispiele

Quadrantenbeziehungen

Quadrant Bedingung Winkelbereich Korrektur
I a > 0, b > 0 0° < φ < 90° Keine Korrektur: φ = arctan(b/a)
II a < 0, b > 0 90° < φ < 180° φ = 180° + arctan(b/a)
III a < 0, b < 0 180° < φ < 270° φ = 180° + arctan(b/a)
IV a > 0, b < 0 270° < φ < 360° φ = 360° + arctan(b/a)
WICHTIG:

Die arctan-Funktion gibt Werte nur zwischen -90° und 90° zurück. Um den richtigen Quadranten zu bestimmen, müssen Sie die Vorzeichen von a und b überprüfen!

Winkelformate und Bereiche

Der Winkel φ kann in verschiedenen Formaten und Bereichen angegeben werden:

0° bis 360°

Alle Winkel positiv

Standard-Bereich für Polarkoordinaten

-180° bis 180°

Negative und positive Winkel

Auch Principal Argument genannt

Radiant (Bogenmaß)

0 bis 2π oder -π bis π

Mathematischer Standard

Detaillierte Beispiele nach Quadranten

Beispiel 1: Quadrant I - z = 3 + 4i

Gegeben: z = 3 + 4i (a = 3 > 0, b = 4 > 0) → Quadrant I
Betrag: r = √(3² + 4²) = √25 = 5
Argument (arctan): tan(φ) = 4/3
Berechnung: φ = arctan(4/3) ≈ 53,13°
Korrektur: Keine Korrektur nötig (Quadrant I)
Polarform: z = 5·e^(i·53,13°) oder z = 5(cos 53,13° + i sin 53,13°)
Beispiel 3 + 4i

Beispiel 2: Quadrant IV - z = 3 - 4i

Gegeben: z = 3 - 4i (a = 3 > 0, b = -4 < 0) → Quadrant IV
Betrag: r = √(3² + (-4)²) = √25 = 5
Argument (arctan): tan(φ) = -4/3
Berechnung: arctan(-4/3) ≈ -53,13°
Korrektur: Keine Korrektur (bereits im richtigen Bereich)
Alternative (0-360°): φ = 360° - 53,13° = 306,87°
Polarform: z = 5·e^(i·(-53,13°)) oder z = 5·e^(i·306,87°)
Beispiel 3 - 4i

Beispiel 3: Quadrant II - z = -3 + 4i

Gegeben: z = -3 + 4i (a = -3 < 0, b = 4 > 0) → Quadrant II
Betrag: r = √((-3)² + 4²) = √25 = 5
Argument (arctan): tan(φ) = 4/(-3) = -4/3
Berechnung: arctan(-4/3) ≈ -53,13°
Korrektur (Quadrant II): φ = 180° - 53,13° = 126,87°
Polarform: z = 5·e^(i·126,87°)

Beispiel 4: Quadrant III - z = -3 - 4i

Gegeben: z = -3 - 4i (a = -3 < 0, b = -4 < 0) → Quadrant III
Betrag: r = √((-3)² + (-4)²) = √25 = 5
Argument (arctan): tan(φ) = -4/(-3) = 4/3
Berechnung: arctan(4/3) ≈ 53,13°
Korrektur (Quadrant III): φ = 180° + 53,13° = 233,13°
Alternative (-180 zu 180°): φ = -126,87°
Polarform: z = 5·e^(i·233,13°) oder z = 5·e^(i·(-126,87°))

Übersicht aller Beispiele

Normalform Betrag r Winkel φ (0-360°) Winkel φ (-180 bis 180°) Polarform
3 + 4i 5 53,13° 53,13° 5·e^(i·53,13°)
3 - 4i 5 306,87° -53,13° 5·e^(i·(-53,13°))
-3 + 4i 5 126,87° 126,87° 5·e^(i·126,87°)
-3 - 4i 5 233,13° -126,87° 5·e^(i·(-126,87°))
Winkelbeziehungen für b ≥ 0
Winkelbeziehungen für b < 0
Alle vier Quadranten

Abbildung 4: Alle vier Beispiele mit ihren Winkeln in verschiedenen Formaten

Schritt-für-Schritt Algorithmus

  1. Betrag berechnen: r = √(a² + b²)
  2. Quadrant bestimmen: Überprüfen Sie die Vorzeichen von a und b
  3. Vorläufigen Winkel berechnen: φ₀ = arctan(b/a)
  4. Winkel korrigieren: Addieren/Subtrahieren Sie 180° je nach Quadrant
  5. Winkelformat wählen: 0-360°, -180 bis 180°, oder Radiant
  6. Polarform schreiben: z = r·e^(iφ) oder z = r(cos φ + i sin φ)

Tipps und häufige Fehler

Hilfreiche Tipps:
  • Skizze zeichnen: Visualisieren Sie die komplexe Zahl in der Gaußschen Ebene
  • Quadrant überprüfen: Das ist der häufigste Fehler!
  • Konsistentes Winkelmaß: Alle Winkel in Grad ODER Radiant
  • Betrag ist immer positiv: r ≥ 0 immer
  • Taschenrechner konfigurieren: Auf das richtige Winkelmaß einstellen
Häufige Fehler:
  • FALSCH: Quadrant vergessen → falscher Winkel | RICHTIG: Immer Quadrant überprüfen!
  • FALSCH: arctan direkt verwenden ohne Korrektur | RICHTIG: Quadrantbeachten!
  • FALSCH: Grad und Radiant vermischen | RICHTIG: Ein Format durchgehend nutzen
  • FALSCH: φ = arctan(a/b) | RICHTIG: φ = arctan(b/a)

Online-Tool

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