Komplexe Zahl - Koordinaten in Polarkoordinaten

Dieser Artikel beschreibt die Bestimmung der Polarkoordinaten einer komplexen Zahl durch die Berechnung des Winkel \(φ\) und die Länge des Vektors \(z\).

Der Radius \(r\) der Polarform ist identisch mit dem Betrag \(|z|\) der komplexen Zahl. Die Formel zur Berechnung des Radius ist folglich die gleiche die in dem Artikel Betrag einer komplexen Zahl beschrieben wurde.

Für die Länge \(r\) des Zeigers ergibt sich

Wenn sich der Vektor im 1. oder 2. Quadranten befindet gilt für den Winkel \(φ\)

oder

Bei der Berechnung des Winkels muss berücksichtigt werden in welchem Quadranten sich der Vektor befindet. Betrachten wir dazu die folgende Abbildung:

Für die komplexe Zahl \(3 + 4i\) in der Abbildung oben ist der Betrag

Der Winkel ist

Für die komplexe Zahl \(3 - 4i\) ist der Betrag auch

Die Berechnung des Winkels ergibt ebenfalls \(53.1°\). In diesem Fall muss zu dem berechneten Winkel noch \(180°\) hinzu addiert werden um in den richtigen Quadranten zu gelangen.

Nach der Berechnung des Winkels \(φ\) mit Hilfe des Arcussinus muss immer eine Prüfung des Quadranten durchgeführt werden. Bei einer negativen imaginären Einheit muss der Winkel korrigiert werden.

Für eine komplexe Zahl \(a + bi\) gilt

If

If

                   or wenn in Radiant gerechnet wird.

In den Rechnungen oben wird der Winkel zwischen \(0°\) und \(360°\) als Winkel \(φ\) zur reellen Achse angegeben. Der Winkel kann auch zwischen \(0°\) und \(± 180°\) angegeben werden.

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