Polarform komplexer Zahlen

In dem Artikel über die geometrische Darstellung komplexer Zahlen wurde beschrieben, dass sich jede komplexe Zahl \(z\) in der Gaußschen Zahlenebene als Vektor darstellen lässt. Dieser Vektor ist durch den Realteil und den Imaginärteils der komplexen Zahl \(z\) eindeutig festgelegt.

Ein vom Nullpunkt ausgehender Vektor lässt sich aber auch als Zeiger aufaßen. Dieser Zeiger ist eindeutig festgelegt durch seine Länge und dem Winkel\(φ\) zur reellen Achse.

Die folgende Abbildung zeigt den Vektor mit der Länge \(r = 2\) und dem Winkel \(φ = 45°\)

Positive Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn gemessen, negative Winkel im Uhrzeigersinn.

Eine komplexe Zahl kann in der Polarform somit eindeutig durch das Paar \((|z|, φ)\) definiert werden. \(φ\) ist dabei der zum Vektor gehörende Winkel. Die Länge des Vektors \(r\) entspricht dem Betrag \(|z|\) der komplexen Zahl.

Man schreibt für Betrag und Argument von \(z \)

Die allgemeine Schreibweise \(z = a + bi\) nennt man Normalform (im Gegensatz zu der oben beschriebenen Polarform).