Vektorrechnung
Mathematische Formeln und Beispiele zur Vektorrechnung
Grundlagen der Vektoren
Arithmetische Operationen
Vektorprodukte
Über Vektorrechnung
Die Vektorrechnung ist ein wichtiges Gebiet der Mathematik, das sich mit Vektoren und ihren Operationen befasst. Vektoren sind fundamental für Physik, Ingenieurwesen und Computergrafik.
- Vektordefinition - Richtung und Magnitude
- Addition & Subtraktion - Komponentenweise Operationen
- Betrag & Normalisierung - Längenberechnung
- Skalarprodukt - Orthogonalität und Winkel
- Kreuzprodukt - Senkrechte Vektoren
- Spatprodukt - Volumen von Parallelepiped
Fundamentale Vektorformeln
Vektor Definition
v⃗ = (x, y, z)
v⃗ = x·i⃗ + y·j⃗ + z·k⃗
v⃗ = x·i⃗ + y·j⃗ + z·k⃗
Betrag (Magnitude)
|v⃗| = √(x² + y² + z²)
|v⃗| = √(v⃗ · v⃗)
|v⃗| = √(v⃗ · v⃗)
Skalarprodukt
a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗|cos(θ)
a⃗ · b⃗ = aₓbₓ + aᵧbᵧ + aᵧbᵧ
a⃗ · b⃗ = aₓbₓ + aᵧbᵧ + aᵧbᵧ
Kreuzprodukt
a⃗ × b⃗ = |a⃗||b⃗|sin(θ)·n̂
|a⃗ × b⃗| = Fläche
|a⃗ × b⃗| = Fläche
Lerntipp: Visualisieren Sie Vektoren als Pfeile im Raum. Verstehen Sie zuerst die geometrische Bedeutung, bevor Sie sich in Berechnungen vertiefen. Das Skalarprodukt misst Orthogonalität, das Kreuzprodukt erzeugt einen senkrechten Vektor.
Praktische Anwendungsbeispiele
Physik & Mechanik
- Kraft & Bewegung: F⃗ = m·a⃗
- Geschwindigkeit: v⃗ = dr⃗/dt
- Drehmoment: τ⃗ = r⃗ × F⃗
Computergrafik & 3D
- Transformationen: Rotation und Skalierung
- Beleuchtung: Normalenvektoren für Oberflächenbeleuchtung
- Kollisionserkennung: Abstandsberechnung
Ingenieurwesen
- Strukturanalyse: Kraftverteilung und Spannung
- Elektromagnetismus: Feld- und Kraftvektoren
- Fluidynamik: Geschwindigkeitsfelder
Datenanalyse & Machine Learning
- Vektorraummodelle: Text- und Bilddaten
- Distanzmetriken: Euklidische Distanz
- Ähnlichkeit: Cosinus-Ähnlichkeit
Schnellreferenz
v⃗ = (x, y, z)
Definition
|v⃗|
Betrag
a⃗ + b⃗
Addition
a⃗ · b⃗
Skalarprodukt
a⃗ × b⃗
Kreuzprodukt