Skalarprodukt von Vektoren

Formeln, Eigenschaften und Beispiele zum Skalarprodukt (Dot Product)

Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Dot Product genannt) ist eine mathematische Operation, die zwei Vektoren eine reelle Zahl (einen Skalar) zuordnet. Im Gegensatz zur Vektormultiplikation, die einen neuen Vektor ergibt, ist das Ergebnis des Skalarprodukts immer eine Zahl.

Das Skalarprodukt ist fundamental in der linearen Algebra und hat wichtige Anwendungen in Physik (z.B. Arbeit = Kraft · Weg), Computergrafik und Maschinelles Lernen (z.B. Ähnlichkeit von Vektoren).

Grundkonzept

Komponentenweise Multiplikation

Entsprechende Komponenten werden multipliziert

Summe der Produkte

Alle Produkte werden addiert

Skalar als Ergebnis

Das Resultat ist eine reelle Zahl, kein Vektor

Gleiche Dimension erforderlich

Beide Vektoren müssen gleich viele Komponenten haben

Wie funktioniert das Skalarprodukt:
  • Für zwei Vektoren werden die entsprechenden Komponenten multipliziert
  • Die Produkte werden addiert, um ein einzelnes Resultat zu erhalten
  • Das Ergebnis ist eine reelle Zahl (Skalar), nicht ein Vektor
  • Das Skalarprodukt misst die Ähnlichkeit der Richtungen zweier Vektoren

Formeln für das Skalarprodukt

Definition: Komponentenweise Berechnung

Für zwei Vektoren \(\vec{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}\):

\[\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i\]

Skalarprodukt von 2D-Vektoren

\[\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2\]

Skalarprodukt von 3D-Vektoren

\[\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\]

Geometrische Interpretation

Das Skalarprodukt kann auch mit Beträgen und dem Winkel zwischen Vektoren ausgedrückt werden:

\[\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)\]

wobei \(\theta\) der Winkel zwischen den Vektoren ist.

Praktische Beispiele

Beispiel 1: Einfaches 2D-Skalarprodukt

Gegeben: \(\vec{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\) und \(\vec{y} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix}\)

\[\displaystyle \vec{x} \cdot \vec{y} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 = 4 + 10 = 14\]

Beispiel 2: 3D-Skalarprodukt

Gegeben: \(\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}\)

\[\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32\]

Beispiel 3: Orthogonale Vektoren (Skalarprodukt = 0)

Gegeben: \(\vec{u} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \end{bmatrix}\)

\[\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot 4 = 0 + 0 = 0\]

Das Skalarprodukt ist 0, daher sind die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander.

Beispiel 4: Negative Komponenten

Gegeben: \(\vec{p} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}\) und \(\vec{q} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ -5 \end{bmatrix}\)

\[\displaystyle \vec{p} \cdot \vec{q} = 2 \cdot 4 + (-3) \cdot 2 + 1 \cdot (-5) = 8 - 6 - 5 = -3\]

Das negative Ergebnis bedeutet, dass die Vektoren eher in entgegengesetzte Richtungen zeigen.

Beispiel 5: Skalarprodukt mit sich selbst

Gegeben: \(\vec{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\)

\[\displaystyle \vec{v} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25\]

Beachte: \(\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2 = (5)^2 = 25\)

Eigenschaften des Skalarprodukts

Wichtige Eigenschaften:
  • Kommutativität: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)
  • Assoziativität mit Skalar: \((k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
  • Distributivität: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\)
  • Selbstprodukt positiv: \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \geq 0\)
  • Orthogonalität: \(\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)

Interpretation des Skalarprodukts

Was bedeutet das Ergebnis:
  • Positives Skalarprodukt: Vektoren zeigen in ähnliche Richtung (Winkel < 90°)
  • Null: Vektoren sind orthogonal, stehen senkrecht zueinander (Winkel = 90°)
  • Negatives Skalarprodukt: Vektoren zeigen in eher entgegengesetzte Richtung (Winkel > 90°)
  • Großer Betrag: Vektoren sind lang und/oder zeigen in ähnliche Richtung
  • Berechnung des Winkels: \(\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\)

Anwendungen des Skalarprodukts

Physikalische Anwendungen

  • Arbeit: \(W = \vec{F} \cdot \vec{s}\) (Kraft mal Weg, kosinus des Winkels)
  • Leistung: \(P = \vec{F} \cdot \vec{v}\) (Kraft mal Geschwindigkeit)
  • Projektion: Die Projektion von \(\vec{a}\) auf \(\vec{b}\) ist \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\)

Anwendungen in der Computerwissenschaft

  • Ähnlichkeit: Kosinus-Ähnlichkeit in Text-Mining und Empfehlungssystemen
  • Beleuchtung: Berechnung der Lichtstärke basierend auf Oberflächennormale und Lichtrichtung
  • Maschinelles Lernen: Berechnung von Distanzen und Ähnlichkeiten zwischen Datenpunkten

Zusammenfassung

Definition

Summe der Produkte entsprechender Komponenten

Formel

\[\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i\]

Geometrie

\[\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)\]

Orthogonal

\[\displaystyle \vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\]



Weitere Vektor Berechnungen

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Winkel zwischen Vektoren
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