Betrag eines Vektors
Formeln und Beispiele zum Betrag eines Vektors
Dieser Artikel beschreibt die Berechnung des Betrags eines Vektors. Der Betrag eines Vektors ist dessen Länge und kann mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden. Danach ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten. Die Längen der Katheten entsprechen den jeweiligen Koordinaten des Vektors.
Die folgende Abbildung zeigt den Vektor \(\left[\matrix{4\\3}\right]\) in einer Ebene.
Der Betrag ist die Länge des Vektors, sie entspricht der Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.
Der Betrag für den Vektor \(\displaystyle \left[\matrix{a\\b}\right]\) kann also berechnet werden \(\displaystyle |v|=\sqrt{a^2+b^2}\)
Beispiel
\(|v|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)
Das Gleiche Verfahren gilt auch für Vektoren mit mehr als zwei Elementen.
\(\left|\left[\matrix{1\\2\\2}\right]\right|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3\)
\(\left|\left[\matrix{-4\\6\\-12}\right]\right|=\sqrt{(-4)^2+6^2+(-12)^2}=\sqrt{16+36+144}=\sqrt{196}=14\)
Betragsquadrat
Die Formel für das Quadrat des Betrags kann von der Formel oben abgeleitet werden werden
\(\displaystyle |v|^2=\sqrt{a^2+b^2}\)
Beispiel
\(|v|^2=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=25\)
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