Spatprodukt von Vektoren

Formeln, Eigenschaften und Beispiele zur Berechnung des Spatprodukts (Triple Product)

Das Spatprodukt (auch gemischtes Produkt oder Triple Product genannt) ist eine Operation auf drei dreidimensionalen Vektoren. Das Ergebnis ist eine reelle Zahl (Skalar), die das Volumen eines Parallelepipeds (eines schrägen Quaders) angibt, das von den drei Vektoren aufgespannt wird.

Das Spatprodukt kombiniert das Kreuzprodukt und das Skalarprodukt: Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren wird mit dem dritten Vektor skalar multipliziert. Das Spatprodukt ist fundamental für die Berechnung von Volumen, Determinanten und die Bestimmung der Coplanarität von Vektoren.

Grundkonzept

Kreuzprodukt

Zwei Vektoren werden multipliziert

Skalarprodukt

Das Ergebnis wird mit dem dritten Vektor multipliziert

Skalar als Ergebnis

Das Resultat ist eine reelle Zahl (Volumen)

Volumen-Interpretation

Der Betrag ist das Volumen des Parallelepipeds

Charakteristiken des Spatprodukts:
  • Das Spatprodukt kombiniert Kreuzprodukt und Skalarprodukt
  • Das Ergebnis ist eine reelle Zahl (Skalar)
  • Der Betrag des Spatprodukts ist das Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds
  • Das Spatprodukt ist zyklisch vertauschbar: \((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} = (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}\)
  • Das Spatprodukt ist Null, wenn die Vektoren koplanar (in einer Ebene) sind

Formeln für das Spatprodukt

Methode 1: Kreuzprodukt und Skalarprodukt

Das Spatprodukt als Kombination von Kreuzprodukt und Skalarprodukt:

\[\displaystyle [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}\]

Für \(\vec{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}\), \(\vec{c} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix}\):

\[\displaystyle (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{bmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix}\]
\[\displaystyle = (a_2 b_3 - a_3 b_2)c_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3)c_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1)c_3\]

Methode 2: Determinante einer Matrix

Das Spatprodukt kann auch als Determinante einer Matrix berechnet werden:

\[\displaystyle [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\]

Die Determinante kann nach der Sarrus-Regel oder durch Cofaktor-Expansion berechnet werden:

\[\displaystyle \det = a_1(b_2 c_3 - b_3 c_2) - b_1(a_2 c_3 - a_3 c_2) + c_1(a_2 b_3 - a_3 b_2)\]

Alternative zyklische Notationen

\[\displaystyle [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} = (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}\]

Praktische Beispiele

Beispiel 1: Spatprodukt mit Kreuzprodukt und Skalarprodukt

Gegeben: \(\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}\), \(\vec{c} = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix}\)

Schritt 1: Kreuzprodukt \(\vec{a} \times \vec{b}\) berechnen

\[\displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3 \\ 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 - 1 \\ 2 - 3 \\ 1 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}\]

Schritt 2: Skalarprodukt mit \(\vec{c}\) berechnen

\[\displaystyle (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix} = 2 \cdot 6 + (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot (-2) = 12 + 0 + 2 = 14\]

Beispiel 2: Spatprodukt mit Determinante

Gegeben: \(\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}\), \(\vec{c} = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix}\)

\[\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix}\]

Cofaktor-Expansion nach der ersten Zeile:

\[\displaystyle = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + 6 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}\]
\[\displaystyle = 1(1 \cdot (-2) - 0 \cdot 3) - 2(1 \cdot (-2) - 0 \cdot 1) + 6(1 \cdot 3 - 1 \cdot 1)\]
\[\displaystyle = 1(-2) - 2(-2) + 6(2) = -2 + 4 + 12 = 14\]

Beispiel 3: Koplanare Vektoren (Spatprodukt = 0)

Gegeben: \(\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}\), \(\vec{c} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix}\)

Alle drei Vektoren liegen in der xy-Ebene (z-Komponente = 0), daher sind sie koplanar.

\[\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0\]

Eigenschaften des Spatprodukts

Wichtige Eigenschaften:
  • Zyklische Vertauschbarkeit: \([\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}] = [\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}]\)
  • Antizyklische Vertauschbarkeit: \([\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = -[\vec{b}, \vec{a}, \vec{c}]\)
  • Koplanarität: \([\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0 \iff\) die Vektoren sind koplanar
  • Distributivität: \([\vec{a} + \vec{a}', \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] + [\vec{a}', \vec{b}, \vec{c}]\)
  • Skalare Multiplikation: \([k\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = k[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\)

Volumen-Interpretation

Geometrische Bedeutung:

Das Volumen des Parallelepipeds, das von den drei Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) aufgespannt wird, ist:

\[\displaystyle V = |[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|\]

Das Spatprodukt kann auch negativ sein. Der Betrag gibt immer das Volumen an, das Vorzeichen hängt von der Orientierung (Rechte-Hand-Regel) ab.

Anwendungen des Spatprodukts

Mathematische Anwendungen

  • Volumenberechnung: Berechnung des Volumens von Parallelepiped und Tetraeder
  • Determinante: Das Spatprodukt ist gleich der Determinante der Matrix, gebildet aus den Vektoren
  • Koplanarität: Test, ob drei Vektoren in einer Ebene liegen
  • Lineares Gleichungssystem: Überprüfung der Lösbarkeit

Physikalische Anwendungen

  • Volumen von Flüssigkeitsmengen: Berechnung in der Fluiddynamik
  • Magnetische Wechselwirkung: In der Klassischen Mechanik und Elektromagnetismus
  • Kristallographie: Bestimmung von Kristallzellvolumen

Zusammenfassung

Definition

Kombination von Kreuzprodukt und Skalarprodukt

Methode 1

\[\displaystyle (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}\]

Methode 2

\[\displaystyle \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\]

Volumen

\[\displaystyle V = |[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|\]



Weitere Vektor Berechnungen

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Vektor Addition
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Vektor Skalarprodukt
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