Spatprodukt berechnen
Formeln und Beispiele zum Berechnen des Vektor Spatprodukt
Mit dem Spatprodukt wird das Volumen berechnen, das von drei Vektoren aufgespannt wird.
1. Spatprodukt über Kreuzprodukt und Skalarprodukt berechnen
\(\displaystyle Spatprodukt = (\vec{a} \times \vec{b})·\vec{c} \) \(\displaystyle = \left( \left[\matrix{a_1\\a_2\\a_3}\right] \times \left[\matrix{b_1\\b_2\\b_3}\right]\right) ·\left[\matrix{c_1\\c_2\\c_3}\right] \)
Beispiel
\(\displaystyle \vec{a}=\left[\matrix{1\\1\\1}\right] \; \vec{b}=\left[\matrix{2\\1\\3}\right] \;\vec{c}=\left[\matrix{6\\0\\-2}\right] \)
Kreuzprodukt berechnen
\(\displaystyle \;\;\; \left[\matrix{a_1\\a_2\\a_3}\right] \times \left[\matrix{b_1\\b_2\\b_3}\right] =\left[\matrix{a_2·b_3-a_3·b_2\\a_3·b_1-a_1·b_3\\a_1·b_2-a_2·b_1}\right] \)
\(\displaystyle = \left[\matrix{1\\1\\1}\right] \times \left[\matrix{2\\1\\3}\right] =\left[\matrix{1·3-1·1\\1·2-1·3\\1·1-1·2}\right] =\left[\matrix{2\\-1\\-1}\right]\)
Skalarprodukt berechnen
\(\displaystyle \left[\matrix{x_1\\x_2\\x_3}\right] \cdot \left[\matrix{y_1\\y_2\\y_3}\right] \) \( = x_1\cdot y_1 + x_2\cdot y_2 +x_3\cdot y_3\)
\(\displaystyle \left[\matrix{2\\-1\\-1}\right] \cdot \left[\matrix{6\\0\\-2}\right] \) \( = 2\cdot 6 + (-1)\cdot 0 +(-1)\cdot(-2)\) \(\displaystyle = 12 +0+2=14\)
2. Spatprodukt über eine Matrix berechnen
Das Spatprodukt kann auch über die Determinante einer Matrix berechnet werden.
\(\displaystyle D=\left[\matrix{a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3} \right]\)
\(\displaystyle D=\left|\matrix{1&2&6\\1&1&0\\1&3&-2}\right|\)
\(\displaystyle V= 1\cdot1\cdot(-2)+2\cdot0\cdot1 +6\cdot1\cdot3\) \(\displaystyle + 6\cdot1\cdot1 -1\cdot0\cdot3 -2\cdot1\cdot(-2)=14\)
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