Vektor Winkel
Formeln und Beispiele zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren
Auf dieser Seite wird die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren beschrieben.
Der eingeschlossene Winkel kann aus dem Skalarprodukt und dem Betrag der Vektoren berechnet werden.
Dazu wird folgende Formel verwendet: \(\displaystyle cos ∡ (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})= \frac{\overrightarrow{x}·\overrightarrow{y}}{\left|\overrightarrow{x}\right|·\left|\overrightarrow{y}\right|}\)
Für die Vektoren
\(\overrightarrow{x} =\left[\matrix{a\\b}\right]\) \(\overrightarrow{y} =\left[\matrix{a\\b}\right]\)
ergibt sich die Formel:
\(\displaystyle cos ∡ (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})= \frac{\left[\matrix{x_a\\x_b}\right]·\left[\matrix{y_a\\y_b}\right]} {\left|\left[\matrix{x_a\\x_b}\right]\right|·\left|\left[\matrix{y_a\\y_b}\right]\right|} \) \(\displaystyle =\frac{x_a·y_a+x_b·y_b}{\sqrt{x_a^2+x_b^2}·\sqrt{y_a^2+y_b^2}}\)
Beispiel
Im folgenden Beispiel wird der Winkel der folgenden Vektoren berechnet:
\(\overrightarrow{x} =\left[\matrix{3\\0}\right]\) \(\overrightarrow{y} =\left[\matrix{5\\5}\right]\)
\(\displaystyle cos ∡ (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})= \frac{\left[\matrix{3\\0}\right]·\left[\matrix{5\\5}\right]} {\left|\left[\matrix{3\\0}\right]\right|·\left|\left[\matrix{5\\5}\right]\right|} \) \(\displaystyle =\frac{3·5+0·5}{\sqrt{3^2+0^2}·\sqrt{5^2+5^2}}\)
\(\displaystyle = \frac{15}{3·\sqrt{2·5^2}}=\frac{15}{3·5·\sqrt{2}} = \frac{15}{15·\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Das Resultat ist \(\displaystyle ∡ (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})= acos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=45°\)
Die Abbildung unten zeigt die grafische Darstellung der Vektoren und des Winkels
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