Kreuzprodukt von Vektoren
Formeln, Eigenschaften und Beispiele zum Kreuzprodukt (Cross Product) in 3D
Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt oder Cross Product genannt) ist eine Operation, die zwei dreidimensionalen Vektoren einen dritten Vektor zuordnet. Im Gegensatz zum Skalarprodukt, das eine Zahl ergibt, ist das Ergebnis des Kreuzprodukts wieder ein Vektor.
Das Kreuzprodukt ist eine Verknüpfung im reellen dreidimensionalen euklidischen Vektorraum \(\mathbb{R}^3\) mit dem Standardskalarprodukt und der Standardorientierung. Es hat wichtige Anwendungen in Physik (z.B. Drehmomentsberechnung), Ingenieurwesen und Computergrafik (z.B. Berechnung von Oberflächennormalen).
Grundkonzept
Nur in 3D
Das Kreuzprodukt existiert nur im dreidimensionalen Raum
Ergebnis ist Vektor
Das Resultat ist wieder ein Vektor, nicht eine Zahl
Orthogonal
Der Ergebnis-Vektor steht senkrecht auf beiden Eingabe-Vektoren
Rechte-Hand-Regel
Die Richtung folgt der Rechte-Hand-Regel
- Das Kreuzprodukt ist nur für 3D-Vektoren definiert
- Der Ergebnis-Vektor steht orthogonal (senkrecht) auf beiden Eingabe-Vektoren
- Die Länge des Ergebnis-Vektors entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den zwei Vektoren aufgespannt wird
- Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ: \(\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}\)
- Das Kreuzprodukt folgt der Rechte-Hand-Regel für die Orientierung
Formeln für das Kreuzprodukt
Definition: Komponentenweise Berechnung
Für zwei 3D-Vektoren \(\vec{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}\):
Alternative Notationen
Determinanten-Form:
wobei \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) die Standard-Basisvektoren sind.
Geometrische Interpretation
Die Länge des Kreuzprodukts ist das Produkt der Beträge und dem Sinus des Winkels:
Dies entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannt wird.
Praktische Beispiele
Beispiel 1: Einfaches Kreuzprodukt
Gegeben: \(\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{bmatrix}\)
Beispiel 2: Basisvektoren
Gegeben: \(\vec{i} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\) und \(\vec{j} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)
Das Kreuzprodukt der ersten beiden Basisvektoren ergibt den dritten Basisvektor.
Beispiel 3: Parallele Vektoren (Kreuzprodukt = 0)
Gegeben: \(\vec{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\)
Da \(\vec{u} = 2\vec{v}\) (parallel), ist das Kreuzprodukt der Nullvektor.
Beispiel 4: Orthogonale Vektoren
Gegeben: \(\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)
Das Ergebnis steht orthogonal auf beiden Eingabe-Vektoren.
Beispiel 5: Nicht-Kommutativität
Gegeben: \(\vec{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)
Die Reihenfolge ist wichtig: \(\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})\)
Eigenschaften des Kreuzprodukts
- Nicht-Kommutativität: \(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\) (Anti-Kommutativität)
- Nicht-Assoziativität: \((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \neq \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})\)
- Distributivität: \(\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}\)
- Skalare Multiplikation: \((k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})\)
- Selbstprodukt: \(\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}\) (Nullvektor)
- Orthogonalität: \(\vec{a} \times \vec{b}\) steht senkrecht auf \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\)
Rechte-Hand-Regel
Die Rechte-Hand-Regel bestimmt die Richtung des Kreuzprodukts:
- Zeige deinen Zeigefinger in Richtung von Vektor \(\vec{a}\)
- Zeige deinen Mittelfinger in Richtung von Vektor \(\vec{b}\)
- Dein Daumen zeigt dann in Richtung von \(\vec{a} \times \vec{b}\)
Die Richtung des Kreuzprodukts folgt dieser Konvention in einem rechtshändigen Koordinatensystem. Das Kreuzprodukt \(\vec{a} \times \vec{b}\) zeigt in die entgegengesetzte Richtung von \(\vec{b} \times \vec{a}\).
Anwendungen des Kreuzprodukts
Physikalische Anwendungen
- Drehmomment (Torque): \(\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}\) (Position mal Kraft)
- Lorentz-Kraft: \(\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}\) (Ladung mal Geschwindigkeit mal Magnetfeld)
- Drehimpuls: \(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\) (Position mal Impuls)
- Winkelgeschwindigkeit: \(\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}\)
Computergrafik-Anwendungen
- Oberflächennormale: Berechnung der Normalen für Beleuchtungs-Berechnungen
- Flächenvektor: Der Betrag gibt die Fläche des Dreiecks an
- Sichtbarkeit: Bestimmung, ob ein Polygon sichtbar ist (Backface Culling)
- Koordinaten-Systeme: Generierung orthogonaler Achsen
Mathematische Anwendungen
- Volumen: \(V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|\) (Volumen des Parallelepipeds)
- Fläche: \(A = |\vec{a} \times \vec{b}|\) (Fläche des Parallelogramms)
- Koplanarität: Drei Vektoren sind koplanar, wenn \((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0\)
Zusammenfassung
Definition
Zwei 3D-Vektoren werden einem neuen 3D-Vektor zugeordnet
Formel
\[\displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{bmatrix}\]
Länge
\[\displaystyle |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)\]
Orthogonal
Ergebnis steht senkrecht auf \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\)
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