Vektorsubtraktion
Formeln, Regeln und Beispiele zur Subtraktion von Vektoren
Die Vektorsubtraktion ist eine grundlegende Operation in der Vektorrechnung, bei der ein Vektor von einem anderen Vektor subtrahiert wird. Die Subtraktion wird komponentenweise durchgeführt und ist eng mit der Vektoraddition verbunden, da sie als Addition mit dem negativen Vektor interpretiert werden kann.
Vektoren können nur subtrahiert werden, wenn sie die gleiche Dimension haben und in der gleichen Ausrichtung vorliegen (beide Spalten- oder beide Zeilenvektoren). Die Subtraktion ist nicht kommutativ: \(\vec{a} - \vec{b} \neq \vec{b} - \vec{a}\).
Bedingungen für Vektorsubtraktion
- Sie die gleiche Anzahl von Elementen (Komponenten) haben
- Sie in der gleichen Ausrichtung vorliegen (beide Spaltenvektoren oder beide Zeilenvektoren)
- Sie beide aus dem gleichen Vektorraum stammen
✅ Gültige Vektorsubtraktionen
Die folgenden Vektorpaare können subtrahiert werden:
2D-Vektoren (zwei Komponenten)
3D-Vektoren (drei Komponenten)
❌ Ungültige Vektorsubtraktionen
Unterschiedliche Dimension: Vektoren mit 2 und 3 Komponenten können nicht subtrahiert werden
Unterschiedliche Ausrichtung: Reihenvektor - Spaltenvektor kann nicht subtrahiert werden
Formeln der Vektorsubtraktion
Subtraktion von 2D-Vektoren
Allgemeine Form:
Konkretes Beispiel:
Subtraktion von 3D-Vektoren
Allgemeine Form:
Konkretes Beispiel:
Subtraktion von n-dimensionalen Vektoren
Für Vektoren beliebiger Dimension \(n\):
Subtraktion als Addition mit Gegenvektor
Die Subtraktion kann auch als Addition mit dem negativen Vektor ausgedrückt werden:
Praktische Beispiele
Beispiel 1: Subtraktion zweier 2D-Vektoren
Gegeben: \(\vec{a} = \begin{bmatrix} 7 \\ 9 \end{bmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}\)
Beispiel 2: Subtraktion zweier 3D-Vektoren
Gegeben: \(\vec{u} = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 7 \end{bmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}\)
Beispiel 3: Subtraktion mit negativen Ergebnissen
Gegeben: \(\vec{p} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}\) und \(\vec{q} = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix}\)
Beispiel 4: Nicht-Kommutativität
Gegeben: \(\vec{a} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}\)
Grafische Vektorsubtraktion
Die Vektorsubtraktion kann auch geometrisch dargestellt werden. Die Differenz zweier Vektoren wird oft durch das Aneinanderlegen von Vektoren visualisiert, wobei der subtrahierte Vektor in die entgegengesetzte Richtung zeigt.
Beispiel: \(\begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}\)
Grafische Darstellung der Vektorsubtraktion: Der erste Vektor (rot) wird vom Ursprung gezeichnet, der negative zweite Vektor (gelb) an dessen Spitze angehängt, und der Differenzvektor (blau) verbindet den Ursprung mit der finalen Spitze
Die Vektorsubtraktion \(\vec{a} - \vec{b}\) ist geometrisch äquivalent zur Addition \(\vec{a} + (-\vec{b})\). Der Vektor \(-\vec{b}\) zeigt in die entgegengesetzte Richtung von \(\vec{b}\).
Eigenschaften der Vektorsubtraktion
- Nicht-Kommutativität: \(\vec{a} - \vec{b} \neq \vec{b} - \vec{a}\) (Reihenfolge ist wichtig!)
- Anti-Kommutativität: \(\vec{a} - \vec{b} = -(\vec{b} - \vec{a})\)
- Assoziativität mit Addition: \((\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} = \vec{a} - (\vec{b} + \vec{c})\)
- Null-Vektor: \(\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}\) (Nullvektor)
- Distributivität: \(k(\vec{a} - \vec{b}) = k\vec{a} - k\vec{b}\)
Verbindung zur Vektoraddition
Die Vektoraddition und die Vektorsubtraktion sind eng miteinander verbunden. Während die Subtraktion komponentenweise durchgeführt wird, folgt sie den gleichen Regeln wie die Addition.
Vergleich: Addition vs. Subtraktion
Weitere Informationen zur Vektoraddition finden Sie hier.
Zusammenfassung
Definition
Komponentenweise Subtraktion von Vektoren gleicher Dimension
Bedingung
Gleiche Anzahl Komponenten und gleiche Ausrichtung erforderlich
Formel 2D
\[\displaystyle \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \end{bmatrix}\]
Formel 3D
\[\displaystyle \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \\ a_3-b_3 \end{bmatrix}\]
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