Vektorberechnungen

Grundlegende Vektoroperationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Skalarmultiplikation

Die Vektorberechnung beschäftigt sich mit verschiedenen Operationen auf Vektoren. Die wichtigsten Operationen sind Addition, Subtraktion und verschiedene Formen der Multiplikation. Im Folgenden werden Vektoroperationen beschrieben unter Verwendung von 2D- und 3D-Vektoren, die Prinzipien gelten jedoch für Vektoren beliebiger Dimension.

Alle diese Operationen folgen mathematischen Regeln und haben wichtige Anwendungen in Physik, Ingenieurwesen, Computergrafik und vielen anderen Bereichen.

Vektoraddition

Definition und Bedingungen

Die Vektoraddition ist eine elementare Operation, bei der zwei oder mehr Vektoren komponentenweise addiert werden. Vektoren können nur addiert werden, wenn sie:

  • Die gleiche Anzahl von Komponenten (Dimension) haben
  • In der gleichen Ausrichtung vorliegen (beide Spaltenvektoren oder beide Zeilenvektoren)
Ungültige Operationen:

\[\displaystyle \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c \\ d \\ e \end{bmatrix} \quad \text{(NICHT MÖGLICH)}\] Vektoren unterschiedlicher Dimension können nicht addiert werden.

Formel der Vektoraddition

\[\displaystyle \vec{a} + \vec{b} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ \vdots \\ a_n + b_n \end{bmatrix}\]

Beispiele

2D-Vektoren:

\[\displaystyle \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+5 \\ 3+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \end{bmatrix}\]

3D-Vektoren:

\[\displaystyle \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+3 \\ -2+2 \\ 4-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}\]

Weitere ausführliche Informationen und grafische Darstellungen zur Vektoraddition finden Sie hier.

Vektorsubtraktion

Definition

Die Vektorsubtraktion wird durchgeführt, indem die Komponenten des zweiten Vektors von den entsprechenden Komponenten des ersten Vektors subtrahiert werden. Sie folgt den gleichen Bedingungen wie die Addition.

Formel der Vektorsubtraktion

\[\displaystyle \vec{a} - \vec{b} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \\ \vdots \\ a_n - b_n \end{bmatrix}\]

Alternativ als Addition mit Gegenvektor:

\[\displaystyle \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})\]

Beispiele

2D-Vektoren:

\[\displaystyle \begin{bmatrix} 8 \\ 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8-3 \\ 5-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix}\]

3D-Vektoren:

\[\displaystyle \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5-2 \\ 3-1 \\ 7-4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\]

Weitere Informationen zur Vektorsubtraktion finden Sie hier.

Skalarmultiplikation

Definition

Die Skalarmultiplikation (auch Skalarprodukt eines Vektors mit einem Skalar genannt) ist die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl (Skalar). Dabei wird jede Komponente des Vektors mit der Zahl multipliziert.

Formel der Skalarmultiplikation

\[\displaystyle k \cdot \vec{v} = k \cdot \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k \cdot v_1 \\ k \cdot v_2 \\ \vdots \\ k \cdot v_n \end{bmatrix}\]

Eigenschaften der Skalarmultiplikation

  • Das Ergebnis ist wieder ein Vektor (nicht wie beim Skalarprodukt)
  • Bei \(k > 1\) wird der Vektor verlängert
  • Bei \(0 < k < 1\) wird der Vektor verkürzt
  • Bei \(k < 0\) wird der Vektor umgekehrt und ggf. skaliert
  • Bei \(k = 0\) entsteht der Nullvektor

Beispiele

2D-Vektor mit positivem Skalar:

\[\displaystyle 3 \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 12 \end{bmatrix}\]

3D-Vektor:

\[\displaystyle 5 \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \cdot 2 \\ 5 \cdot 5 \\ 5 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 25 \\ 20 \end{bmatrix}\]

Mit negativem Skalar (Umkehrung):

\[\displaystyle -2 \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 \\ -2 \end{bmatrix}\]

Skalarprodukt (Inneres Produkt)

Definition

Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) ist eine Operation zwischen zwei Vektoren, die eine reelle Zahl (Skalar) als Ergebnis liefert. Es wird berechnet, indem die entsprechenden Komponenten multipliziert und die Ergebnisse addiert werden.

Formel des Skalarprodukts

\[\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i\]

Alternative Formel mit Winkel

\[\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)\]

wobei \(\theta\) der Winkel zwischen den Vektoren ist.

Beispiele

2D-Vektoren:

\[\displaystyle \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 8 + 15 = 23\]

3D-Vektoren:

\[\displaystyle \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32\]
Wichtige Eigenschaft:

Das Skalarprodukt ist null, wenn die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander stehen: \[\displaystyle \vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\]

Weitere ausführliche Informationen zum Skalarprodukt finden Sie hier.

Zusammenfassung der Vektoroperationen

Addition

\[\displaystyle \vec{a} + \vec{b}\]
Komponentenweise Addition

Subtraktion

\[\displaystyle \vec{a} - \vec{b}\]
Komponentenweise Subtraktion

Skalarmultiplikation

\[\displaystyle k \cdot \vec{v}\]
Ergebnis ist Vektor

Skalarprodukt

\[\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}\]
Ergebnis ist Zahl

Rechenregeln und Eigenschaften

Wichtige Eigenschaften:
  • Kommutativität (Addition): \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\)
  • Assoziativität (Addition): \((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\)
  • Kommutativität (Skalarprodukt): \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)
  • Distributivität: \(k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}\)
  • Distributivität (Skalarprodukt): \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}\)


Weitere Vektor Berechnungen

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Winkel zwischen Vektoren
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