Quaternion Addition

Rechner und Formel zur komponentenweisen Addition von Quaternionen

Quaternion Addition Rechner

Quaternion Addition

Addiert zwei Quaternionen q₁ + q₂ durch komponentenweise Addition aller vier Komponenten (w, x, y, z)

Komponentenweise Addition von Quaternionen

Die Quaternion-Addition erfolgt durch Addition entsprechender Komponenten: (w₁+w₂) + (x₁+x₂)i + (y₁+y₂)j + (z₁+z₂)k

Zwei Quaternionen eingeben
Quaternion 1 (q₁)
Quaternion 2 (q₂)
Quaternion-Additionsergebnis
W (Skalar):
X (i-Komp.):
Y (j-Komp.):
Z (k-Komp.):
Quaternion-Addition: q₁ + q₂ = (w₁+w₂) + (x₁+x₂)i + (y₁+y₂)j + (z₁+z₂)k

Quaternion Addition Info

Additions-Eigenschaften

Kommutativ: q₁ + q₂ = q₂ + q₁

Kommutativ Assoziativ Komponentenweise

Einfach: Entsprechende Komponenten addieren
Elementar: Grundoperation für Quaternionen

Quaternion-Komponenten
W: Skalarteil (Rotationskomponente)
X, Y, Z: Vektorkomponenten (i, j, k)


Formeln für die Quaternion-Addition

Allgemeine Formel
\[q_1 + q_2 = (w_1 + w_2) + (x_1 + x_2)i + (y_1 + y_2)j + (z_1 + z_2)k\]

Komponentenweise Addition aller vier Teile

Vektor-Darstellung
\[\vec{q_1} + \vec{q_2} = \begin{pmatrix} w_1 + w_2 \\ x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix}\]

Als 4D-Vektor-Addition

Einzelkomponenten
\[\begin{align} w &= w_1 + w_2 \\ x &= x_1 + x_2 \\ y &= y_1 + y_2 \\ z &= z_1 + z_2 \end{align}\]

Jede Komponente separat

Eigenschaften
\[\begin{align} q_1 + q_2 &= q_2 + q_1 \\ (q_1 + q_2) + q_3 &= q_1 + (q_2 + q_3) \\ q + 0 &= q \end{align}\]

Kommutativ, assoziativ, neutrales Element

Rechenbeispiele für die Quaternion-Addition

Beispiel 1: Einfache Addition
q₁ = 3 + 2i + 4j + 1k q₂ = 1 + 3i + 5j + 2k
Schritt 1: W-Komponenten \[w = 3 + 1 = 4\] Schritt 2: X-Komponenten \[x = 2 + 3 = 5\] Schritt 3: Y-Komponenten \[y = 4 + 5 = 9\] Schritt 4: Z-Komponenten \[z = 1 + 2 = 3\]

Ergebnis: q = 4 + 5i + 9j + 3k

Beispiel 2: Mit negativen Zahlen
q₁ = 2 - 1i + 3j - 2k q₂ = -1 + 4i - 1j + 5k
\[\begin{align} w &= 2 + (-1) = 1 \\ x &= (-1) + 4 = 3 \\ y &= 3 + (-1) = 2 \\ z &= (-2) + 5 = 3 \end{align}\]

Ergebnis: q = 1 + 3i + 2j + 3k

Geometrische Bedeutung
Rotationskomposition
Nicht wie Rotation!
Linearkombination
Gewichtete Mittelung
Interpolation
Zwischen Zuständen
Überlagerung
Additive Kombination

Die Addition entspricht nicht der Rotationskomposition - dafür wird die Multiplikation verwendet

Schritt-für-Schritt Anleitung
Vorbereitung
  1. Beide Quaternionen in der Form w + xi + yj + zk schreiben
  2. Komponenten klar identifizieren
  3. Fehlende Komponenten als 0 behandeln
Durchführung
  1. W-Komponenten addieren: w₁ + w₂
  2. X-Komponenten addieren: x₁ + x₂
  3. Y-Komponenten addieren: y₁ + y₂
  4. Z-Komponenten addieren: z₁ + z₂

Anwendungen der Quaternion-Addition

Die Quaternion-Addition hat verschiedene praktische Anwendungen:

Computer Graphics & Animation
  • Interpolation zwischen Rotationszuständen
  • Gewichtete Kombinationen von Orientierungen
  • Skelett-Animation: Bone-Blending
  • Morphing zwischen 3D-Objektausrichtungen
Robotik & Steuerung
  • Kontrollerintegration: Joystick-Eingaben
  • Sensor-Fusion: Kombination von Orientierungsdaten
  • Bahnplanung: Zwischenzustände
  • Kalibrierung: Offset-Korrekturen
Mathematik & Simulation
  • Numerische Integration von Rotationsdifferenzen
  • Finite-Elemente-Methoden mit Orientierungen
  • Statistische Auswertung von Orientierungsdaten
  • Quaternion-basierte Filtermethoden
Wichtige Einschränkung
  • Nicht für Rotationskomposition!
  • Addition ≠ Hintereinanderausführung von Drehungen
  • Für Rotationen: Quaternion-Multiplikation verwenden
  • Addition: Gewichtung, Interpolation, Überlagerung

Quaternion-Addition: Einfache Linearkombination

Die Quaternion-Addition ist die elementarste Operation in der Quaternion-Algebra und erfolgt durch einfache komponentenweise Addition. Anders als die komplexe Quaternion-Multiplikation, die für Rotationskomposition verwendet wird, dient die Addition der linearen Kombination und Interpolation. Sie ist kommutativ und assoziativ, bildet eine abelsche Gruppe und ermöglicht gewichtete Mittelungen zwischen Quaternion-Zuständen. In der praktischen Anwendung findet sie Verwendung bei der Sensor-Fusion, der Animation von Orientierungsübergängen und der numerischen Integration von Orientierungsänderungen.

Zusammenfassung

Die Quaternion-Addition ist zwar mathematisch einfach - nur komponentenweise Addition -, aber konzeptionell wichtig zu verstehen: Sie entspricht nicht der geometrischen Komposition von Rotationen, sondern der algebraischen Linearkombination im 4D-Raum. Während die Multiplikation Rotationen verkettet, addiert die Addition Quaternionen als mathematische Objekte. Diese Unterscheidung ist entscheidend für die korrekte Anwendung in der 3D-Grafik, Robotik und Simulation, wo beide Operationen ihre spezifischen Einsatzgebiete haben.

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Weitere Quaternion Funktionen

Addieren  •  Subtrahieren  •  Dividieren  •  Multiplizieren  •  Verketten (Concatenate)  •  Betrag (Länge)  •  Interpolieren  •  Normalisieren  •  Skalarmultiplikation  •  Skalarprodukt  •  Gieren Nicken Rollen  •  Quaternion Transformationen  •  Negierung  •  Normalisierung  •  Inverse  •