Quaternion aus Euler-Winkeln

Konvertierung von Gieren, Nicken und Rollen zu Quaternionen

Euler-zu-Quaternion Konverter

Euler-Winkel zu Quaternion

Konvertiert die drei Euler-Winkel Gieren (Y), Nicken (X) und Rollen (Z) in eine Quaternion-Darstellung

Euler-Winkel Konvertierung

Die Konvertierung erfolgt durch trigonometrische Funktionen der halben Winkel: cos(α/2) und sin(α/2) für jeden Euler-Winkel

Euler-Winkel eingeben (Gieren, Nicken, Rollen)
Rotations-Winkel
Rotation um die vertikale Y-Achse
Rotation um die horizontale X-Achse
Rotation um die Längs-Z-Achse
Einstellungen
Quaternion-Konvertierungsergebnis
W (Rotation):
X (i-Komp.):
Y (j-Komp.):
Z (k-Komp.):
Konvertierung: Euler-Winkel (Yaw, Pitch, Roll) → Quaternion (w, x, y, z)

Euler-Winkel Info

Euler-Winkel

Gieren (Yaw): Y-Achse (links/rechts)
Nicken (Pitch): X-Achse (auf/ab)
Rollen (Roll): Z-Achse (drehen)

Intuitiv Gimbal Lock 3 Winkel → 4 Komponenten

Vorteil: Intuitive Darstellung von Rotationen
Anwendung: Robotik, Luft-/Raumfahrt, Gaming

Rotations-Reihenfolge
1. Gieren (Y-Achse) - Yaw
2. Nicken (X-Achse) - Pitch
3. Rollen (Z-Achse) - Roll


Formeln für die Euler-zu-Quaternion Konvertierung

Allgemeine Konvertierungsformeln
\[\begin{align} c_y &= \cos(\text{yaw}/2), \quad s_y = \sin(\text{yaw}/2) \\ c_p &= \cos(\text{pitch}/2), \quad s_p = \sin(\text{pitch}/2) \\ c_r &= \cos(\text{roll}/2), \quad s_r = \sin(\text{roll}/2) \end{align}\]

Trigonometrische Funktionen der halben Winkel

Quaternion-Komponenten
\[\begin{align} w &= c_y \cdot c_p \cdot c_r + s_y \cdot s_p \cdot s_r \\ x &= c_y \cdot s_p \cdot c_r - s_y \cdot c_p \cdot s_r \\ y &= s_y \cdot c_p \cdot c_r + c_y \cdot s_p \cdot s_r \\ z &= c_y \cdot c_p \cdot s_r - s_y \cdot s_p \cdot c_r \end{align}\]

Vollständige Quaternion-Berechnung

Rotations-Matrix Äquivalent
\[R = R_z(\text{roll}) \cdot R_x(\text{pitch}) \cdot R_y(\text{yaw})\]

Entsprechende Rotationsmatrix-Verkettung

Kompakte Schreibweise
\[q = q_y \cdot q_p \cdot q_r\] \[\text{mit } q_y = [\cos(\text{yaw}/2), 0, \sin(\text{yaw}/2), 0]\] \[q_p = [\cos(\text{pitch}/2), \sin(\text{pitch}/2), 0, 0]\] \[q_r = [\cos(\text{roll}/2), 0, 0, \sin(\text{roll}/2)]\]

Als Produkt von Einzel-Quaternionen

Rechenbeispiele für Euler-zu-Quaternion Konvertierung

Beispiel 1: Einfache Rotationen
Yaw = 30° Pitch = 50° Roll = 20°
Schritt 1: Halbe Winkel berechnen \[\text{yaw}/2 = 15°, \text{pitch}/2 = 25°, \text{roll}/2 = 10°\] Schritt 2: Trigonometrische Werte \[\cos(15°) \approx 0.966, \sin(15°) \approx 0.259\] \[\cos(25°) \approx 0.906, \sin(25°) \approx 0.423\] \[\cos(10°) \approx 0.985, \sin(10°) \approx 0.174\]

Komplexe Berechnung mit vielen Termen

Beispiel 2: Reine Rotationen
Nur Yaw = 90° Pitch = 0°, Roll = 0°
\[\begin{align} w &= \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} ≈ 0.707 \\ x &= 0 \\ y &= \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} ≈ 0.707 \\ z &= 0 \end{align}\]

q = 0.707 + 0i + 0.707j + 0k

Praktische Anwendungen
Flugzeug-Navigation
Pitch, Yaw, Roll
Roboter-Steuerung
Gelenk-Orientierung
3D-Animation
Objekt-Rotation
VR/AR
Kopf-Tracking

Euler-Winkel sind intuitiv, aber Quaternionen vermeiden Gimbal Lock und sind effizienter

Schritt-für-Schritt Anleitung
Vorbereitung
  1. Euler-Winkel in gewünschter Einheit eingeben
  2. Rotations-Reihenfolge beachten (Y-X-Z)
  3. Winkel durch 2 teilen für Halbwinkel
  4. Trigonometrische Werte berechnen
Durchführung
  1. W-Komponente: Produktterm berechnen
  2. X-Komponente: Pitch-dominanter Term
  3. Y-Komponente: Yaw-dominanter Term
  4. Z-Komponente: Roll-dominanter Term

Anwendungen der Euler-zu-Quaternion Konvertierung

Die Konvertierung von Euler-Winkeln zu Quaternionen ist in vielen Bereichen unverzichtbar:

Luft- und Raumfahrt
  • Flugzeug-Lageregelung: Autopilot-Systeme
  • Satelliten-Orientierung: Attitude Control
  • Drohnen-Navigation: Stabilisierung
  • Raketenstartsequenzen: Bahnkorrekturen
Robotik & Automatisierung
  • Industrieroboter: Gelenk-Orientierung
  • Humanoide Roboter: Balance und Bewegung
  • Kamera-Gimbal: Stabilisierung
  • Mobile Roboter: Navigation
3D-Grafik & Gaming
  • Charakter-Animation: Knochen-Rotation
  • Kamera-Steuerung: First-Person-Shooter
  • Objekt-Manipulation: 3D-Editoren
  • Physics-Engines: Starrkörper-Dynamik
VR/AR & Motion Capture
  • Head-Tracking: VR-Headsets
  • Hand-Tracking: Gestensteuerung
  • Motion-Capture: Filmproduktion
  • Augmented Reality: Objekt-Platzierung

Euler-Winkel zu Quaternionen: Überwindung von Gimbal Lock

Die Konvertierung von Euler-Winkeln zu Quaternionen ist eine fundamentale Operation in der 3D-Rotationstheorie. Während Euler-Winkel (Gieren, Nicken, Rollen) intuitiv und leicht verständlich sind, leiden sie unter dem berüchtigten Gimbal-Lock-Problem. Quaternionen bieten eine elegante Lösung: Sie sind singularitätsfrei, ermöglichen sanfte Interpolationen und sind rechnerisch effizienter. Die Konvertierung erfolgt über trigonometrische Funktionen der Halbwinkel und ist besonders wichtig in der Robotik, Luft-/Raumfahrt und 3D-Computer-Grafik.

Zusammenfassung

Die Euler-zu-Quaternion-Konvertierung verbindet die intuitive Welt der Euler-Winkel mit der mathematisch robusten Quaternion-Darstellung. Diese Transformation ist essentiell für Anwendungen, die sowohl menschliche Verständlichkeit (Euler-Winkel) als auch mathematische Stabilität (Quaternionen) benötigen. Von der Flugzeugsteuerung über Robotik bis hin zu VR-Anwendungen ermöglicht diese Konvertierung die nahtlose Integration zwischen benutzerfreundlichen Eingabeformaten und effizienten Berechnungsverfahren für 3D-Rotationen.




Weitere Quaternion Funktionen

Addieren  •  Subtrahieren  •  Dividieren  •  Multiplizieren  •  Verketten (Concatenate)  •  Betrag (Länge)  •  Interpolieren  •  Normalisieren  •  Skalarmultiplikation  •  Skalarprodukt  •  Gieren Nicken Rollen  •  Quaternion Transformationen  •  Negierung  •  Normalisierung  •  Inverse  •