Quaternion Skalarmultiplikation

Multiplikation einer Quaternion mit einem reellen Skalar

Quaternion Skalarmultiplikations-Rechner

Quaternion Skalarmultiplikation

Multipliziert eine Quaternion q mit einem reellen Skalar λ durch komponentenweise Multiplikation aller vier Komponenten

Skalar-Multiplikation

Einfache Operation: λ × q = λ × (w + xi + yj + zk)
Kommutativ: λ × q = q × λ (Skalar kann links oder rechts stehen)
Skalierung: Verändert die "Größe" der Quaternion ohne Richtungsänderung

Quaternion und Skalar eingeben
Quaternion (q)
Multiplikator
Reeller Multiplikationsfaktor
Operation im Überblick
λ × q = λ × (w + xi + yj + zk) = λw + λxi + λyj + λzk
Jede Komponente wird mit dem Skalar multipliziert
Skalarmultiplikations-Ergebnis
W (Skalar):
X (i-Komp.):
Y (j-Komp.):
Z (k-Komp.):
Skalarmultiplikation: λ × q = (λw, λx, λy, λz)

Skalarmultiplikation Info

Eigenschaften

Kommutativ: λ × q = q × λ
Assoziativ: λ × (μ × q) = (λμ) × q
Distributiv: λ × (q₁ + q₂) = λq₁ + λq₂

Kommutativ Assoziativ Einfach

Einfach: Jede Komponente × Skalar
Skalierung: Ändert "Größe", nicht Richtung

Spezialfälle
λ = 1: Quaternion bleibt unverändert
λ = 0: Null-Quaternion (0,0,0,0)
λ = -1: Negierte Quaternion
λ = 1/|q|: Normalisierung

Formeln für die Quaternion-Skalarmultiplikation

Allgemeine Skalarmultiplikations-Formel
\[\lambda \times q = \lambda \times (w + xi + yj + zk) = \lambda w + \lambda xi + \lambda yj + \lambda zk\]

Komponentenweise Multiplikation mit dem Skalar

Komponentenweise Darstellung
\[\begin{align} w' &= \lambda \cdot w \\ x' &= \lambda \cdot x \\ y' &= \lambda \cdot y \\ z' &= \lambda \cdot z \end{align}\]

Jede Komponente einzeln multipliziert

Vektor-Darstellung
\[\lambda \times \begin{pmatrix} w \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda w \\ \lambda x \\ \lambda y \\ \lambda z \end{pmatrix}\]

Als 4D-Vektor-Skalarmultiplikation

Betrag der skalierten Quaternion
\[|\lambda \times q| = |\lambda| \times |q|\]

Betrag skaliert sich mit dem absoluten Skalarwert

Algebraische Eigenschaften
\[\begin{align} \lambda \times q &= q \times \lambda \\ (\lambda \mu) \times q &= \lambda \times (\mu \times q) \\ \lambda \times (q_1 + q_2) &= \lambda q_1 + \lambda q_2 \end{align}\]

Kommutativ, assoziativ, distributiv

Rechenbeispiele für Quaternion-Skalarmultiplikation

Beispiel 1: Einfache Skalierung
q = 1 + 3i + 5j + 2k λ = 2
Skalarmultiplikation: \[\begin{align} \lambda \times q &= 2 \times (1 + 3i + 5j + 2k) \\ w' &= 2 \times 1 = 2 \\ x' &= 2 \times 3 = 6 \\ y' &= 2 \times 5 = 10 \\ z' &= 2 \times 2 = 4 \end{align}\]

λ × q = 2 + 6i + 10j + 4k

Beispiel 2: Negativer Skalar
q = 2 + 4i - 3j + 1k λ = -0.5
Berechnung: \[\begin{align} w' &= -0.5 \times 2 = -1 \\ x' &= -0.5 \times 4 = -2 \\ y' &= -0.5 \times (-3) = 1.5 \\ z' &= -0.5 \times 1 = -0.5 \end{align}\]

λ × q = -1 - 2i + 1.5j - 0.5k

Beispiel 3: Normalisierung
q = 3 + 4i + 0j + 0k |q| = 5
Normalisierungs-Skalar: \[\lambda = \frac{1}{|q|} = \frac{1}{5} = 0.2\] Normalisierte Quaternion: \[\begin{align} \hat{q} &= 0.2 \times (3 + 4i) \\ &= 0.6 + 0.8i \end{align}\] Verifikation: \[|\hat{q}| = \sqrt{0.6^2 + 0.8^2} = 1\]

Einheits-Quaternion erzeugt

Beispiel 4: Spezialfälle
q = 1 + 2i + 3j + 4k
λ = 0: \[0 \times q = 0 + 0i + 0j + 0k\] λ = 1: \[1 \times q = q \text{ (unverändert)}\] λ = -1: \[-1 \times q = -1 - 2i - 3j - 4k\]

Null, Identität, Negation

Geometrische Bedeutung
Skalierung
Größenänderung
Normalisierung
Einheitslänge
Vorzeichen-Umkehr
λ = -1
Interpolation
Gewichtung

Skalarmultiplikation ändert die "Größe" der Quaternion, aber nicht ihre "Richtung" im 4D-Raum

Schritt-für-Schritt Anleitung
Vorbereitung
  1. Quaternion in Standardform schreiben
  2. Skalarwert λ festlegen
  3. Alle vier Komponenten identifizieren
  4. Systematisch durchrechnen
Durchführung
  1. W-Komponente: λ × w
  2. X-Komponente: λ × x
  3. Y-Komponente: λ × y
  4. Z-Komponente: λ × z

Anwendungen der Quaternion-Skalarmultiplikation

Die Quaternion-Skalarmultiplikation ist eine grundlegende Operation mit vielen Anwendungen:

3D-Grafik & Animation
  • Normalisierung: Einheits-Quaternionen erzeugen
  • Skalierung: Rotations-"Intensität" ändern
  • Interpolation: Gewichtete Mischung
  • Animation: Zeitbasierte Skalierung
Robotik & Steuerung
  • Kalibrierung: Sensordaten normalisieren
  • Dämpfung: Rotationsgeschwindigkeit reduzieren
  • Verstärkung: Signal-Amplifikation
  • Filterung: Gewichtete Mittelwerte
Numerische Mathematik
  • Normalisierung: |q| = 1 erzwingen
  • Skalierung: Betrag anpassen
  • Vorzeichen-Umkehr: λ = -1
  • Diskretisierung: Zeitschritte skalieren
Wichtige Eigenschaften
  • Einfachheit: Nur Multiplikation nötig
  • Kommutativität: λ×q = q×λ
  • Linearität: Distributiv über Addition
  • Betrag: |λ×q| = |λ|×|q|

Quaternion-Skalarmultiplikation: Einfach aber mächtig

Die Quaternion-Skalarmultiplikation ist die einfachste Operation in der Quaternion-Algebra, aber gleichzeitig eine der nützlichsten. Sie ermöglicht die proportionale Skalierung aller Komponenten einer Quaternion mit einem reellen Faktor. Diese Operation ist kommutativ, assoziativ und distributiv, was sie zu einem idealen Werkzeug für Normalisierung, Gewichtung und lineare Transformationen macht. In der 3D-Grafik wird sie häufig zur Erzeugung von Einheits-Quaternionen verwendet, die für gültige Rotationen erforderlich sind. Die Operation preserviert die "Richtung" der Quaternion im 4D-Raum und ändert nur ihre "Größe".

Zusammenfassung

Die Quaternion-Skalarmultiplikation verbindet Einfachheit mit Vielseitigkeit. Als komponentenweise Multiplikation ist sie rechnerisch trivial, aber ihre Anwendungen reichen von der grundlegenden Normalisierung bis hin zu komplexen Interpolationsalgorithmen. Ihre algebraischen Eigenschaften (Kommutativität, Assoziativität, Distributivität) machen sie zu einem verlässlichen Baustein für größere Quaternion-Operationen. In modernen 3D-Anwendungen ist die Skalarmultiplikation unverzichtbar für die Erzeugung und Manipulation von Einheits-Quaternionen, die das Rückgrat aller Rotationsberechnungen bilden.

Weitere Quaternion Funktionen

Addieren  •  Subtrahieren  •  Dividieren  •  Multiplizieren  •  Verketten (Concatenate)  •  Betrag (Länge)  •  Interpolieren  •  Normalisieren  •  Skalarmultiplikation  •  Skalarprodukt  •  Gieren Nicken Rollen  •  Quaternion Transformationen  •  Negierung  •  Normalisierung  •  Inverse  •