Quaternion Multiplikation

Rechner für Quaternion-Multiplikation und Rotations-Verkettung

Quaternion Multiplikations-Rechner

Quaternion Multiplikation

Multipliziert zwei Quaternionen q₁ × q₂ zur Verkettung von Rotationen und Transformation von Koordinatensystemen

Quaternion-Multiplikation (Hamilton-Produkt)

Nicht kommutativ: q₁ × q₂ ≠ q₂ × q₁ (Reihenfolge wichtig!)
Rotations-Verkettung: Erste Rotation q₁, dann Rotation q₂
Komplexe Berechnung: 16 Terme in der vollständigen Formel

Zwei Quaternionen für Multiplikation eingeben
Erste Quaternion (q₁)
Zweite Quaternion (q₂)
q₁ × q₂: Erst Rotation q₁, dann q₂ anwenden
Nicht kommutativ: q₁ × q₂ ≠ q₂ × q₁
Quaternion-Multiplikationsergebnis
W (Skalar):
X (i-Komp.):
Y (j-Komp.):
Z (k-Komp.):
Hamilton-Produkt: q₁ × q₂ (Rotations-Verkettung, nicht kommutativ)

Multiplikation Info

Multiplikations-Eigenschaften

Nicht kommutativ: q₁ × q₂ ≠ q₂ × q₁
Assoziativ: (q₁ × q₂) × q₃ = q₁ × (q₂ × q₃)
Hamilton-Produkt: Vollständige Quaternion-Multiplikation

Nicht kommutativ Assoziativ Rotations-Verkettung

Reihenfolge wichtig: q₁ × q₂ ≠ q₂ × q₁
Verkettung: Erst q₁, dann q₂ anwenden

Hamilton-Regeln
i² = j² = k² = ijk = -1
ij = k, ji = -k
jk = i, kj = -i
ki = j, ik = -j


Formeln für die Quaternion-Multiplikation

Hamilton-Produkt (Vollständige Formel)
\[q_1 \times q_2 = (w_1 + x_1 i + y_1 j + z_1 k) \times (w_2 + x_2 i + y_2 j + z_2 k)\]

Distributive Anwendung der Hamilton-Regeln

Komponentenweise Berechnung
\[\begin{align} w &= w_1 w_2 - x_1 x_2 - y_1 y_2 - z_1 z_2 \\ x &= w_1 x_2 + x_1 w_2 + y_1 z_2 - z_1 y_2 \\ y &= w_1 y_2 - x_1 z_2 + y_1 w_2 + z_1 x_2 \\ z &= w_1 z_2 + x_1 y_2 - y_1 x_2 + z_1 w_2 \end{align}\]

Alle vier Komponenten des Ergebnisses

Hamilton-Regeln
\[\begin{align} i^2 = j^2 = k^2 &= ijk = -1 \\ ij = k, \quad ji &= -k \\ jk = i, \quad kj &= -i \\ ki = j, \quad ik &= -j \end{align}\]

Grundregeln für i, j, k Multiplikation

Vektorprodukt-Form
\[\begin{align} q_1 \times q_2 &= (w_1 w_2 - \vec{v_1} \cdot \vec{v_2}) \\ &+ (w_1 \vec{v_2} + w_2 \vec{v_1} + \vec{v_1} \times \vec{v_2}) \end{align}\]

Mit Vektorteil v = (x, y, z)

Matrix-Darstellung
\[Q_1 \cdot Q_2 = \begin{pmatrix} w_1 & -x_1 & -y_1 & -z_1 \\ x_1 & w_1 & -z_1 & y_1 \\ y_1 & z_1 & w_1 & -x_1 \\ z_1 & -y_1 & x_1 & w_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_2 \\ x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}\]

Matrix-Multiplikation equivalent

Rechenbeispiele für Quaternion-Multiplikation

Beispiel 1: Schritt-für-Schritt
q₁ = 3 + 2i + 4j + 1k q₂ = 1 + 3i + 5j + 2k
W-Komponente: \[w = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 3 - 4 \cdot 5 - 1 \cdot 2 = 3 - 6 - 20 - 2 = -25\] X-Komponente: \[x = 3 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 1 \cdot 5 = 9 + 2 + 8 - 5 = 14\] Y-Komponente: \[y = 3 \cdot 5 - 2 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 15 - 4 + 4 + 3 = 18\] Z-Komponente: \[z = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 5 - 4 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = 6 + 10 - 12 + 1 = 5\]

q₁ × q₂ = -25 + 14i + 18j + 5k

Beispiel 2: Reihenfolge wichtig!
q₁ = 1 + i + 0j + 0k q₂ = 1 + 0i + j + 0k
q₁ × q₂: \[\begin{align} w &= 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 1 \\ x &= 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1 = 1 \\ y &= 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 \\ z &= 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 1 \end{align}\] q₂ × q₁: \[\begin{align} w &= 1, \quad x = 1 \\ y &= 1, \quad z = -1 \end{align}\]

q₁×q₂ ≠ q₂×q₁ (z-Komponente!)

Beispiel 3: Einheits-Quaternionen
q₁ = cos(α/2) + sin(α/2)k q₂ = cos(β/2) + sin(β/2)k
Rotation um Z-Achse: \[\begin{align} q_1 \times q_2 &= \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \\ &+ \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) k \end{align}\] Winkel addieren sich!

Rotations-Verkettung = Winkel-Addition

Beispiel 4: Hamilton-Regeln
i × j = ? j × i = ?
Grundregeln: \[\begin{align} i \times j &= k \\ j \times i &= -k \\ i \times i &= -1 \\ j \times j &= -1 \\ k \times k &= -1 \end{align}\]

Hamilton-Regeln sind fundamental

Geometrische Bedeutung
Rotations-Verkettung
Hintereinander
Koordinaten-Transform
System-Wechsel
Animation
Bewegungsfolgen
Robotik
Gelenk-Ketten

Multiplikation = Rotationen hintereinander ausführen (Reihenfolge beachten!)

Schritt-für-Schritt Anleitung
Vorbereitung
  1. Beide Quaternionen in Standardform schreiben
  2. Reihenfolge festlegen: q₁ × q₂
  3. Hamilton-Regeln bereithalten
  4. Systematisch alle Terme berechnen
Durchführung
  1. W-Komponente: 4 Terme (1 positiv, 3 negativ)
  2. X-Komponente: 4 Terme nach Hamilton-Regeln
  3. Y-Komponente: 4 Terme nach Hamilton-Regeln
  4. Z-Komponente: 4 Terme nach Hamilton-Regeln

Anwendungen der Quaternion-Multiplikation

Die Quaternion-Multiplikation ist das Herzstück der 3D-Rotationsberechnung:

3D-Grafik & Animation
  • Rotations-Verkettung: Mehrere Drehungen kombinieren
  • Skelett-Animation: Knochen-Hierarchien
  • Kamera-Steuerung: Komplexe Bewegungen
  • Objekt-Transformation: Lokale + globale Rotation
Robotik & Kinematik
  • Vorwärts-Kinematik: Gelenk-Rotationen verketten
  • Roboter-Arme: Segment-Orientierungen
  • Bahnplanung: Komplexe Bewegungsabläufe
  • Koordinaten-Transformation: Zwischen Referenzsystemen
Luft- und Raumfahrt
  • Attitude Control: Mehraxige Rotationen
  • Navigation: Koordinatensystem-Wechsel
  • Stabilisierung: Korrektur-Rotationen
  • Manöver: Sequenzielle Bewegungen
Wichtige Eigenschaften
  • Nicht kommutativ: Reihenfolge ist entscheidend
  • Assoziativ: Klammerung egal
  • Hamilton-Regeln: i²=j²=k²=ijk=-1
  • 16 Terme: Komplexe aber systematische Berechnung

Quaternion-Multiplikation: Das Hamilton-Produkt

Die Quaternion-Multiplikation, auch Hamilton-Produkt genannt, ist die komplexeste aber mächtigste Operation in der Quaternion-Algebra. Sie ermöglicht die Verkettung von Rotationen und ist fundamental für die 3D-Computergrafik. Die Operation ist nicht kommutativ - die Reihenfolge der Faktoren ist entscheidend, da q₁ × q₂ ≠ q₂ × q₁. Dies spiegelt die physikalische Realität wider, dass die Reihenfolge von Rotationen das Endergebnis beeinflusst. Die 16 Terme der vollständigen Formel folgen den Hamilton-Regeln und können systematisch berechnet werden. Moderne 3D-Engines nutzen hochoptimierte Implementierungen dieser Operation für Echtzeit-Rendering.

Zusammenfassung

Die Quaternion-Multiplikation ist das Werkzeug für präzise Rotations-Verkettungen in 3D-Anwendungen. Ihre nicht-kommutative Natur macht sie zur realistischen Abbildung physikalischer Rotationen, während ihre Assoziativität effiziente Berechnungen ermöglicht. Das Verständnis der Hamilton-Regeln und der systematischen Berechnung aller 16 Terme ist essentiell für jeden, der mit 3D-Rotationen arbeitet. Von einfachen Objekt-Drehungen bis hin zu komplexen Roboter-Kinematiken - die Quaternion-Multiplikation ist das mathematische Fundament moderner 3D-Technologie und ermöglicht die präzise, Gimbal-Lock-freie Berechnung beliebig komplexer Rotationssequenzen.




Weitere Quaternion Funktionen

Addieren  •  Subtrahieren  •  Dividieren  •  Multiplizieren  •  Verketten (Concatenate)  •  Betrag (Länge)  •  Interpolieren  •  Normalisieren  •  Skalarmultiplikation  •  Skalarprodukt  •  Gieren Nicken Rollen  •  Quaternion Transformationen  •  Negierung  •  Normalisierung  •  Inverse  •