Quaternion Division

Rechner und Formel zur Division von Quaternionen

Quaternion Division Rechner

Quaternion Division

Dividiert eine Quaternion q₁ durch eine zweite Quaternion q₂ durch Multiplikation mit der Inversen: q₁ ÷ q₂ = q₁ × q₂⁻¹

Quaternion-Division durch Inverse

Die Division erfolgt durch Multiplikation mit der konjugierten Quaternion und Division durch das Betragsquadrat: q₁ ÷ q₂ = (q₁ × q₂*) / |q₂|²

Zwei Quaternionen für Division eingeben
Dividend (q₁)
Divisor (q₂)
Quaternion-Divisionsergebnis
W (Skalar):
X (i-Komp.):
Y (j-Komp.):
Z (k-Komp.):
Quaternion-Division: q₁ ÷ q₂ = q₁ × q₂⁻¹ = (q₁ × q₂*) / |q₂|²

Quaternion Division Info

Divisions-Eigenschaften

Nicht kommutativ: q₁ ÷ q₂ ≠ q₂ ÷ q₁

Nicht kommutativ Komplex Inverse erforderlich

Achtung: Division durch Null-Quaternion unmöglich
Komplex: Berechnung über Konjugation und Betrag

Divisions-Verfahren
1. Konjugation des Divisors (q₂*)
2. Betragsquadrat berechnen (|q₂|²)
3. Multiplikation: q₁ × q₂*
4. Division durch |q₂|²


Formeln für die Quaternion-Division

Allgemeine Formel
\[q_1 \div q_2 = q_1 \times q_2^{-1} = \frac{q_1 \times q_2^*}{|q_2|^2}\]

Division durch Multiplikation mit der Inversen

Konjugierte Quaternion
\[q_2^* = w_2 - x_2i - y_2j - z_2k\]

Vorzeichenwechsel der Vektorkomponenten

Betragsquadrat
\[|q_2|^2 = w_2^2 + x_2^2 + y_2^2 + z_2^2\]

Summe der Komponentenquadrate

Ausführliche Berechnung
\[\begin{align} q_1 \div q_2 &= \frac{(w_1 + x_1i + y_1j + z_1k) \times (w_2 - x_2i - y_2j - z_2k)}{w_2^2 + x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} \end{align}\]

Vollständige Formel mit allen Komponenten

Rechenbeispiele für die Quaternion-Division

Beispiel 1: Einfache Division
q₁ = 3 + 5i + 4j + 8k q₂ = 2 + 3i + 5j + 2k
Schritt 1: Konjugierte von q₂ \[q_2^* = 2 - 3i - 5j - 2k\] Schritt 2: Betragsquadrat \[|q_2|^2 = 4 + 9 + 25 + 4 = 42\] Schritt 3: Multiplikation \[q_1 \times q_2^*\] Schritt 4: Division durch 42

Komplexe Berechnung erforderlich

Beispiel 2: Division durch reine Quaternion
q₁ = 1 + 0i + 0j + 0k q₂ = 0 + 1i + 0j + 0k
\[\begin{align} q_2^* &= 0 - 1i - 0j - 0k = -i \\ |q_2|^2 &= 0 + 1 + 0 + 0 = 1 \\ q_1 \times q_2^* &= 1 \times (-i) = -i \\ \text{Ergebnis} &= \frac{-i}{1} = -i \end{align}\]

Ergebnis: 0 - 1i + 0j + 0k

Geometrische Bedeutung
Rotations-Umkehrung
Inverse Drehung
Orientierungs-Differenz
Relative Ausrichtung
Transformation
Koordinatenwechsel
Kalibrierung
Offset-Korrektur

Division entspricht der Umkehrung einer Rotation oder der relativen Orientierung zwischen zwei Zuständen

Schritt-für-Schritt Anleitung
Vorbereitung
  1. Beide Quaternionen in Standardform schreiben
  2. Prüfen: Divisor ≠ 0 (|q₂| ≠ 0)
  3. Konjugierte des Divisors bilden: q₂*
  4. Betragsquadrat des Divisors: |q₂|²
Durchführung
  1. Quaternion-Multiplikation: q₁ × q₂*
  2. Alle Komponenten des Ergebnisses
  3. Division aller Komponenten durch |q₂|²
  4. Vereinfachen und formatieren

Anwendungen der Quaternion-Division

Die Quaternion-Division hat wichtige praktische Anwendungen:

3D-Grafik & Animation
  • Relative Rotationen zwischen Objekten
  • Inverse Kinematik: Gelenkwinkel berechnen
  • Kamera-Orientierung: Blickrichtung umkehren
  • Koordinatentransformationen zwischen Systemen
Robotik & Navigation
  • Sensor-Kalibrierung: Offset-Korrektur
  • Pfadplanung: Umgekehrte Bewegungen
  • Orientierungsregelung: Soll-Ist-Differenz
  • Gimbal-Lock-freie Rotation
Mathematik & Physik
  • Quantenmechanik: Spinor-Operationen
  • Kristallographie: Symmetrie-Operationen
  • Signalverarbeitung: Filterdesign
  • Numerische Lösung von Differentialgleichungen
Wichtige Hinweise
  • Nicht kommutativ: q₁/q₂ ≠ q₂/q₁
  • Division durch Null unmöglich
  • Numerische Stabilität bei kleinen Beträgen beachten
  • Oft langsamer als Multiplikation mit Inverser

Quaternion-Division: Komplexe aber mächtige Operation

Die Quaternion-Division ist eine der komplexesten Operationen in der Quaternion-Algebra und erfolgt durch Multiplikation mit der inversen Quaternion. Anders als die einfache Addition erfordert sie die Berechnung der konjugierten Quaternion und des Betragsquadrats. Die Division ist nicht kommutativ und entspricht geometrisch der Umkehrung einer Rotation oder der Berechnung der relativen Orientierung zwischen zwei räumlichen Zuständen. In der Praxis findet sie Anwendung bei der Berechnung inverser Transformationen, der Sensor-Kalibrierung und der Lösung von Orientierungsproblemen in der 3D-Grafik und Robotik.

Zusammenfassung

Die Quaternion-Division ist mathematisch anspruchsvoll und erfordert sorgfältige Berechnung der inversen Quaternion über Konjugation und Betragsquadrat. Obwohl komplexer als Addition oder Multiplikation, ist sie unverzichtbar für Anwendungen, die inverse Rotationen oder relative Orientierungen benötigen. Die geometrische Bedeutung entspricht der "Rückgängigmachung" einer Rotation oder der Antwort auf die Frage: "Welche Rotation führt von Zustand A zu Zustand B?" Besondere Vorsicht ist bei numerischen Berechnungen geboten, da kleine Divisoren zu Instabilitäten führen können.




Weitere Quaternion Funktionen

Addieren  •  Subtrahieren  •  Dividieren  •  Multiplizieren  •  Verketten (Concatenate)  •  Betrag (Länge)  •  Interpolieren  •  Normalisieren  •  Skalarmultiplikation  •  Skalarprodukt  •  Gieren Nicken Rollen  •  Quaternion Transformationen  •  Negierung  •  Normalisierung  •  Inverse  •