Quaternion Subtraktion

Komponentenweise Subtraktion zweier Quaternionen

Quaternion Subtraktions-Rechner

Quaternion Subtraktion

Subtrahiert zwei Quaternionen q₁ - q₂ durch komponentenweise Differenzbildung aller vier Komponenten (W, X, Y, Z)

Subtraktions-Eigenschaften

Formel: q₁ - q₂ = (w₁-w₂) + (x₁-x₂)i + (y₁-y₂)j + (z₁-z₂)k
Nicht kommutativ: q₁ - q₂ ≠ q₂ - q₁ (Reihenfolge wichtig!)
Anwendung: Differenzen berechnen, relative Orientierungen

Zwei Quaternionen für Subtraktion eingeben
Minuend (q₁)
Subtrahend (q₂)
q₁ - q₂: Minuend minus Subtrahend
Nicht kommutativ: q₁ - q₂ ≠ q₂ - q₁
Quaternion-Subtraktionsergebnis
W (Skalar):
X (i-Komp.):
Y (j-Komp.):
Z (k-Komp.):
Subtraktion: q₁ - q₂ = (w₁-w₂, x₁-x₂, y₁-y₂, z₁-z₂)

Subtraktion Info

Eigenschaften

Nicht kommutativ: q₁ - q₂ ≠ q₂ - q₁
Assoziativ: (q₁ - q₂) - q₃ = q₁ - (q₂ + q₃)
Distributiv: über Skalarmultiplikation

Nicht kommutativ Komponentenweise Differenz

Reihenfolge: q₁ - q₂ ≠ q₂ - q₁
Einfach: Komponente für Komponente

Spezialfälle
q - q = 0: Null-Quaternion
q - 0 = q: Quaternion bleibt unverändert
0 - q = -q: Negierte Quaternion
q₁ - q₂ = q₁ + (-q₂): Addition der Negation


Formeln für die Quaternion-Subtraktion

Allgemeine Subtraktions-Formel
\[q_1 - q_2 = (w_1 - w_2) + (x_1 - x_2)i + (y_1 - y_2)j + (z_1 - z_2)k\]

Komponentenweise Differenzbildung

Komponentenweise Darstellung
\[\begin{align} w &= w_1 - w_2 \\ x &= x_1 - x_2 \\ y &= y_1 - y_2 \\ z &= z_1 - z_2 \end{align}\]

Jede Komponente einzeln subtrahiert

Vektor-Darstellung
\[q_1 - q_2 = \begin{pmatrix} w_1 \\ x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} w_2 \\ x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w_1 - w_2 \\ x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \\ z_1 - z_2 \end{pmatrix}\]

Als 4D-Vektor-Subtraktion

Beziehung zur Addition
\[q_1 - q_2 = q_1 + (-q_2)\]

Subtraktion als Addition der Negation

Algebraische Eigenschaften
\[\begin{align} q_1 - q_2 &\neq q_2 - q_1 \\ (q_1 - q_2) - q_3 &= q_1 - (q_2 + q_3) \\ \lambda(q_1 - q_2) &= \lambda q_1 - \lambda q_2 \end{align}\]

Nicht kommutativ, aber distributiv über Skalare

Rechenbeispiele für Quaternion-Subtraktion

Beispiel 1: Grundberechnung
q₁ = 3 + 2i + 4j + 1k q₂ = 1 + 3i + 5j + 2k
Subtraktion q₁ - q₂: \[\begin{align} w &= 3 - 1 = 2 \\ x &= 2 - 3 = -1 \\ y &= 4 - 5 = -1 \\ z &= 1 - 2 = -1 \end{align}\]

q₁ - q₂ = 2 - 1i - 1j - 1k

Beispiel 2: Nicht-Kommutativität
q₁ = 5 + 3i + 2j + 1k q₂ = 2 + 1i + 1j + 3k
q₁ - q₂: \[= (5-2) + (3-1)i + (2-1)j + (1-3)k = 3 + 2i + 1j - 2k\] q₂ - q₁: \[= (2-5) + (1-3)i + (1-2)j + (3-1)k = -3 - 2i - 1j + 2k\]

q₁ - q₂ ≠ q₂ - q₁

Beispiel 3: Selbst-Subtraktion
q = 4 + 3i + 2j + 1k
q - q: \[\begin{align} w &= 4 - 4 = 0 \\ x &= 3 - 3 = 0 \\ y &= 2 - 2 = 0 \\ z &= 1 - 1 = 0 \end{align}\] Ergebnis: Null-Quaternion

q - q = 0 + 0i + 0j + 0k

Beispiel 4: Subtraktion von Null
q = 2 + 1i + 3j + 4k 0 = 0 + 0i + 0j + 0k
q - 0: \[= 2 + 1i + 3j + 4k = q\] 0 - q: \[= 0 - 2 + (0-1)i + (0-3)j + (0-4)k = -q\]

q - 0 = q, aber 0 - q = -q

Geometrische Bedeutung
Differenz-Vektor
Richtung & Betrag
Relative Position
Zum Referenzpunkt
Orientierungs-Differenz
Zwischen Rotationen
Änderungs-Rate
Diskrete Ableitung

Subtraktion erzeugt einen "Differenz-Quaternion" der die Abweichung zwischen zwei Quaternionen beschreibt

Schritt-für-Schritt Anleitung
Vorbereitung
  1. Beide Quaternionen in Standardform schreiben
  2. Reihenfolge festlegen: q₁ - q₂ (Minuend - Subtrahend)
  3. Alle vier Komponenten identifizieren
  4. Systematisch komponenten-weise subtrahieren
Durchführung
  1. W-Komponente: w₁ - w₂
  2. X-Komponente: x₁ - x₂
  3. Y-Komponente: y₁ - y₂
  4. Z-Komponente: z₁ - z₂

Anwendungen der Quaternion-Subtraktion

Die Quaternion-Subtraktion ist wichtig für Differenzanalysen und relative Berechnungen:

3D-Grafik & Animation
  • Orientierungs-Differenz: Zwischen zwei Rotationszuständen
  • Animation-Interpolation: Start- und Endpunkt-Differenz
  • Kamera-Bewegung: Relative Positionsänderung
  • Objekt-Verfolgung: Bewegungs-Vektoren
Robotik & Steuerung
  • Soll-Ist-Abweichung: Regelungs-Fehler berechnen
  • Bahnkorrektur: Abweichung von geplanter Route
  • Sensor-Kalibrierung: Offset-Bestimmung
  • Bewegungs-Analyse: Geschwindigkeits-Approximation
Numerische Analyse
  • Diskrete Ableitung: Änderungsraten approximieren
  • Fehler-Berechnung: Abweichungen quantifizieren
  • Residuum-Analyse: Gleichungssystem-Lösungen
  • Konvergenz-Test: Iterative Verfahren
Wichtige Eigenschaften
  • Nicht kommutativ: Reihenfolge ist wichtig
  • Einfachheit: Komponenten-weise Subtraktion
  • Linearität: Distributiv über Skalare
  • Inverse Operation: Zu Addition

Quaternion-Subtraktion: Differenzen im 4D-Raum

Die Quaternion-Subtraktion ist eine fundamentale Operation, die die Differenz zwischen zwei Punkten im 4D-Quaternion-Raum berechnet. Obwohl sie konzeptionell einfach ist - nur komponentenweise Subtraktion - hat sie wichtige Anwendungen in der Analyse von Orientierungs- änderungen und relativen Positionen. Die nicht-kommutative Natur (q₁ - q₂ ≠ q₂ - q₁) spiegelt die Richtungsabhängigkeit von Differenzen wider. In der 3D-Grafik wird die Subtraktion häufig verwendet, um die Änderung zwischen zwei Rotationszuständen zu quantifizieren oder um Bewegungsvektoren für Animationen zu berechnen.

Zusammenfassung

Die Quaternion-Subtraktion kombiniert algebraische Einfachheit mit praktischer Vielseitigkeit. Als komponentenweise Operation ist sie leicht zu verstehen und zu implementieren, aber ihre Anwendungen reichen von der Grundlagenforschung bis hin zu komplexen Steuerungssystemen. Die nicht-kommutative Eigenschaft macht sie zur natürlichen Wahl für die Berechnung gerichteter Differenzen, während ihre Beziehung zur Addition (q₁ - q₂ = q₁ + (-q₂)) sie nahtlos in größere algebraische Strukturen einbettet. Moderne Anwendungen in Robotik, Animation und Simulation nutzen die Subtraktion für Echtzeit-Berechnungen von Orientierungs-Differenzen und Bewegungs-Analysen.




Weitere Quaternion Funktionen

Addieren  •  Subtrahieren  •  Dividieren  •  Multiplizieren  •  Verketten (Concatenate)  •  Betrag (Länge)  •  Interpolieren  •  Normalisieren  •  Skalarmultiplikation  •  Skalarprodukt  •  Gieren Nicken Rollen  •  Quaternion Transformationen  •  Negierung  •  Normalisierung  •  Inverse  •