Quaternion Interpolation

LERP und SLERP - Lineare und sphärische Interpolation von Quaternionen

Quaternion Interpolation Rechner

Quaternion Interpolation

Interpoliert zwischen zwei Quaternionen q₁ und q₂ mit linearer (LERP) oder sphärischer linearer (SLERP) Interpolation

Interpolations-Methoden

LERP: Einfache lineare Interpolation - schnell aber nicht konstante Geschwindigkeit
SLERP: Sphärische Interpolation - konstante Geschwindigkeit auf der Einheitssphäre

Zwei Quaternionen für Interpolation eingeben
Start-Quaternion (q₁)
Ziel-Quaternion (q₂)
0.0 = q₁, 1.0 = q₂, 0.5 = Mitte


Quaternion-Interpolationsergebnis
W (Skalar):
X (i-Komp.):
Y (j-Komp.):
Z (k-Komp.):
Interpolation: q(t) = (1-t)·q₁ + t·q₂ (LERP) oder sphärische Interpolation (SLERP)

Interpolation Info

Interpolations-Arten

LERP: Lineare Interpolation - einfach
SLERP: Sphärische Interpolation - gleichmäßig

LERP SLERP Gewichtung t

LERP: Schnell, einfach zu berechnen
SLERP: Konstante Geschwindigkeit, glatter

Gewichtungs-Parameter
t = 0.0: Vollständig q₁ (Start)
t = 0.5: Mitte zwischen q₁ und q₂
t = 1.0: Vollständig q₂ (Ziel)

Formeln für Quaternion-Interpolation

Interpolations-Parameter
\[t \in [0, 1] \quad \text{wobei } t = 0 \Rightarrow q_1, \quad t = 1 \Rightarrow q_2\]

Gewichtungs-Parameter zwischen 0 und 1

LERP - Lineare Interpolation
\[\begin{align} \text{LERP}(q_1, q_2, t) &= (1-t) \cdot q_1 + t \cdot q_2 \\ &= q_1 + t(q_2 - q_1) \end{align}\]

Einfache gewichtete Summe

SLERP - Sphärische Interpolation
\[\begin{align} \text{SLERP}(q_1, q_2, t) &= \frac{\sin((1-t)\theta)}{\sin(\theta)} q_1 \\ &+ \frac{\sin(t\theta)}{\sin(\theta)} q_2 \end{align}\]

Konstante Geschwindigkeit auf Einheitssphäre

SLERP Winkel-Berechnung
\[\begin{align} \cos(\theta) &= q_1 \cdot q_2 \\ &= w_1 w_2 + x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 \end{align}\]

Winkel zwischen den Quaternionen

LERP vs SLERP
\[\begin{align} \text{LERP:} &\quad O(1) \text{ - schnell} \\ \text{SLERP:} &\quad O(\log n) \text{ - gleichmäßig} \end{align}\]

Geschwindigkeit vs. Qualität

Rechenbeispiele für Quaternion-Interpolation

Beispiel 1: LERP Interpolation
q₁ = 3 + 2i + 4j + 1k q₂ = 1 + 3i + 5j + 2k t = 0.5
LERP Berechnung: \[\begin{align} q(0.5) &= 0.5 \cdot q_1 + 0.5 \cdot q_2 \\ w &= 0.5(3) + 0.5(1) = 2 \\ x &= 0.5(2) + 0.5(3) = 2.5 \\ y &= 0.5(4) + 0.5(5) = 4.5 \\ z &= 0.5(1) + 0.5(2) = 1.5 \end{align}\]

q = 2 + 2.5i + 4.5j + 1.5k

Beispiel 2: SLERP vs LERP
Einheits-Quaternionen 90° Rotation
Unterschied: \[\begin{align} \text{LERP} &: \text{Variable Geschwindigkeit} \\ \text{SLERP} &: \text{Konstante Geschwindigkeit} \\ |\text{LERP}(q_1, q_2, t)| &\neq 1 \\ |\text{SLERP}(q_1, q_2, t)| &= 1 \end{align}\]

SLERP behält Einheitslänge bei

Anwendungsszenarien
Animation
Knochen-Rotation
Kamera-Fahrt
Sanfte Übergänge
Robotik
Bahnplanung
Physik-Engine
Zeitintegration

Interpolation ermöglicht sanfte Übergänge zwischen Orientierungen ohne Sprünge

Schritt-für-Schritt Anleitung
LERP Durchführung
  1. Beide Quaternionen eingeben
  2. Gewichtung t wählen (0.0 bis 1.0)
  3. Formel: (1-t)·q₁ + t·q₂
  4. Komponenten einzeln berechnen
SLERP Durchführung
  1. Skalarprodukt berechnen: q₁·q₂
  2. Winkel θ = arccos(q₁·q₂)
  3. Sinus-Gewichtungen berechnen
  4. Gewichtete Summe bilden

Anwendungen der Quaternion-Interpolation

Quaternion-Interpolation ist essentiell für sanfte Animationen und Übergänge:

Animation & 3D-Grafik
  • Charakter-Animation: Knochen-Rotation
  • Kamera-Bewegungen: Sanfte Schwenks
  • Objekt-Rotation: Gleichmäßige Drehungen
  • Morphing: Übergang zwischen Posen
Robotik & Steuerung
  • Bahnplanung: Sanfte Bewegungsverläufe
  • Gelenksteuerung: Ruckfreie Bewegungen
  • Orientierungsregelung: Glatte Übergänge
  • Kalibrierung: Interpolierte Korrekturen
Gaming & VR/AR
  • Charakter-Steuerung: Realistische Bewegungen
  • Kamera-Systeme: Cinematic Shots
  • VR-Tracking: Natürliche Kopfbewegungen
  • Physics-Engines: Zeitintegrierte Rotation
Wichtige Eigenschaften
  • LERP: Schnell, aber variable Geschwindigkeit
  • SLERP: Konstante Geschwindigkeit, aber aufwendiger
  • Normalisierung oft erforderlich nach LERP
  • SLERP bei kleinen Winkeln numerisch instabil

Quaternion-Interpolation: Der Schlüssel zu natürlichen Animationen

Die Quaternion-Interpolation ist fundamental für die Erzeugung sanfter, natürlicher Bewegungen in 3D-Anwendungen. Während lineare Interpolation (LERP) einfach und schnell ist, bietet sphärische lineare Interpolation (SLERP) konstante Rotationsgeschwindigkeit und vermeidet unnatürliche Beschleunigungen. SLERP arbeitet auf der 4D-Einheitssphäre und gewährleistet, dass interpolierte Quaternionen normalisiert bleiben. Diese Eigenschaften machen SLERP zur bevorzugten Methode für hochwertige Animationen, während LERP für Echtzeitanwendungen mit Performance-Anforderungen geeignet ist.

Zusammenfassung

Die Wahl zwischen LERP und SLERP hängt von den Anforderungen ab: LERP für Performance, SLERP für Qualität. In der Praxis wird oft ein Hybrid-Ansatz verwendet - SLERP für sichtbare Animationen und LERP für interne Berechnungen. Moderne Game-Engines und Animationssoftware nutzen ausgeklügelte Optimierungen wie NLERP (normalisierte LERP) als Kompromiss zwischen Geschwindigkeit und Qualität. Die Quaternion-Interpolation ermöglicht es, komplexe 3D-Rotationen in natürlichen, intuitiven Bewegungsabläufen darzustellen und ist daher unverzichtbar für moderne 3D-Anwendungen.

Weitere Quaternion Funktionen

Addieren  •  Subtrahieren  •  Dividieren  •  Multiplizieren  •  Verketten (Concatenate)  •  Betrag (Länge)  •  Interpolieren  •  Normalisieren  •  Skalarmultiplikation  •  Skalarprodukt  •  Gieren Nicken Rollen  •  Quaternion Transformationen  •  Negierung  •  Normalisierung  •  Inverse  •