Spatprodukt berechnen

Diese Funktion berechnet das Spatprodukt dreier Vektoren. Mit dem Spatprodukt wird das Volumen berechnen, das von drei Vektoren aufgespannt wird.

Zur Berechnung geben Sie die Werte der drei Vektoren ein, dann klicken Sie auf den Button 'Rechnen'

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Spatprodukt Rechner  Eingabe Eingabe löschen Vektor 1 Vektor 2 Vektor 3 Dezimalstellen 0 1 2 3 4 6 8 10  Resultat Spatprodukt

Formeln zum Vektor Spatprodukt

1. Spatprodukt über Vektor Kreuzprodukt und Skalarprodukt berechnen

\(\displaystyle Spatprodukt = (\vec{a} \times \vec{b})·\vec{c} \) \(\displaystyle = \left( \left[\matrix{a_1\\a_2\\a_3}\right] \times \left[\matrix{b_1\\b_2\\b_3}\right]\right) ·\left[\matrix{c_1\\c_2\\c_3}\right] \)

Beispiel

\(\displaystyle \vec{a}=\left[\matrix{1\\1\\1}\right] \; \vec{b}=\left[\matrix{2\\1\\3}\right] \;\vec{c}=\left[\matrix{6\\0\\-2}\right] \)

Kreuzprodukt berechnen

\(\displaystyle \;\;\; \left[\matrix{a_1\\a_2\\a_3}\right] \times \left[\matrix{b_1\\b_2\\b_3}\right] =\left[\matrix{a_2·b_3-a_3·b_2\\a_3·b_1-a_1·b_3\\a_1·b_2-a_2·b_1}\right] \)

\(\displaystyle = \left[\matrix{1\\1\\1}\right] \times \left[\matrix{2\\1\\3}\right] =\left[\matrix{1·3-1·1\\1·2-1·3\\1·1-1·2}\right] =\left[\matrix{2\\-1\\-1}\right]\)

Skalarprodukt berechnen

\(\displaystyle \left[\matrix{2\\-1\\-1}\right] \cdot \left[\matrix{6\\0\\-2}\right] = 2\cdot 6 + (-1)\cdot 0 +(-1)\cdot(-2)\) \(\displaystyle = 12 +0+2=14\)

2. Das Spatprodukt kann auch über die Determinante einer Matrix berechnet werden

\(\displaystyle D=\left[\matrix{a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3} \right]\)

\(\displaystyle D=\left|\matrix{1&2&6\\1&1&0\\1&3&-2}\right|\)

\(\displaystyle V= 1\cdot1\cdot(-2)+2\cdot0\cdot1 +6\cdot1\cdot3\) \(\displaystyle + 6\cdot1\cdot1 -1\cdot0\cdot3 -2\cdot1\cdot(-2)=14\)