Fakultät berechnen

Rechner und Formel zur Berechnung der Fakultät x!

Fakultät Rechner

Fakultät-Funktion

Berechnet das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis zur eingegebenen Zahl. Wichtig in der Kombinatorik.

Argument eingeben
!
Ganzzahl zwischen 0 und 170
Berechnungsergebnis
Fakultät:
Berechnung: n! = 1 × 2 × 3 × ... × n

Fakultät Info

Eigenschaften

Fakultät: Produkt aller natürlichen Zahlen bis n

Kombinatorik Permutation n!

Bereich: Nur natürliche Zahlen (0, 1, 2, 3, ...)
Grenze: Bis 170! (wegen Computergrenzen)

Beispiele
4! = 1×2×3×4 = 24
5! = 1×2×3×4×5 = 120
0! = 1 (per Definition)

Formeln für die Fakultät

Grunddefinition
\[n! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times n\]

Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n

Mathematische Notation
\[n! = \prod_{k=1}^{n} k\]

Produktschreibweise mit Produktzeichen

Rekursive Definition
\[n! = n \times (n-1)!\] \[0! = 1\]

Rekursive Berechnung mit Basisfall

Stirling-Approximation
\[n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\]

Näherungsformel für große n

Rechenbeispiele für die Fakultät

Beispiel 1: Kleine Fakultäten
6! berechnen
6! = 1×2×3×4×5×6
= 6×24 = 120×6
\[6! = 720\]

Ergebnis: 720

Beispiel 2: Kombinatorik-Anwendung
Wettbewerb mit 6 Teilnehmern
Mögliche Reihenfolgen:
Platz 1: 6 Möglichkeiten
Platz 2: 5 Möglichkeiten
usw...
\[\text{Insgesamt: } 6! = 720\]

720 verschiedene Zieleinläufe möglich

Schritt-für-Schritt Berechnung von 5!
5! = 5×4!
4! = 4×3!
3! = 3×2!
2! = 2×1!
1! = 1
= 120

Rekursive Berechnung von innen nach außen

Anwendungen der Fakultät

Die Fakultät ist fundamental in der Mathematik und findet vielfältige Anwendungen:

Kombinatorik
  • Permutationen (Anordnungen)
  • Kombinationen berechnen
  • Wahrscheinlichkeitsrechnung
  • Binomialkoeffizienten
Analysis & Algebra
  • Taylorsche Reihenentwicklung
  • Gamma-Funktion
  • Potenzreihen
  • Differentialgleichungen
Informatik
  • Algorithmusanalyse
  • Komplexitätstheorie
  • Sortieralgorithmen
  • Rekursive Programmierung
Praktische Anwendungen
  • Turnierauswertungen
  • Sitzordnungen planen
  • Lotterie-Berechnungen
  • Kodierungstheorie

Die Fakultät: Grundstein der Kombinatorik

Die Fakultät ist eine der fundamentalsten Funktionen in der Mathematik. Sie ordnet jeder natürlichen Zahl das Produkt aller positiven natürlichen Zahlen zu, die diese Zahl nicht übertreffen. Das Ausrufezeichen (!") als Notation macht die Fakultät zu einem der erkennbarsten mathematischen Symbole und zeigt ihre zentrale Bedeutung in der abzählenden Kombinatorik.

Eigenschaften
  • Schnell wachsende Funktion
  • Nur für natürliche Zahlen definiert
  • 0! = 1 per Definition
  • Rekursiv berechenbar
Bedeutung
  • Anzahl der Permutationen
  • Basis für Kombinationen
  • Wahrscheinlichkeitsrechnung
  • Mathematische Analysis
Besonderheiten
  • Exponentielles Wachstum
  • Große Zahlen bei kleinem n
  • Computergrenzen bei n > 170
  • Stirling-Näherung für große n
Zusammenfassung

Die Fakultät verbindet elementare Multiplikation mit komplexer Kombinatorik. Die einfache Definition - Produkt aller natürlichen Zahlen bis n - ermöglicht die Lösung vielfältiger mathematischer Probleme. Von der Berechnung von Anordnungsmöglichkeiten über Wahrscheinlichkeiten bis hin zu fortgeschrittenen mathematischen Theorien bleibt die Fakultät ein unverzichtbares Werkzeug. Sie zeigt eindrucksvoll, wie aus einfachen arithmetischen Operationen mächtige mathematische Strukturen entstehen können.

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