Kehrwert Rechner

Berechnung des multiplikativen Inversen (Kehrwert) 1/x einer reellen Zahl

Kehrwert berechnen

Was ist der Kehrwert?

Der Kehrwert (reziproker Wert) einer Zahl x ist 1/x. Die Multiplikation einer Zahl mit ihrem Kehrwert ergibt immer 1: x · (1/x) = 1.

1 ÷ 8 = ?
Zahl eingeben
Beliebige reelle Zahl (außer 0)
Berechnungsergebnis
1/x =
Berechnung: Kehrwert von x ist 1 geteilt durch x

Kehrwert Info

Eigenschaften

Kehrwert: Multiplikatives Inverses einer Zahl

1/x x⁻¹ reziprok

Regel: x · (1/x) = 1 für alle x ≠ 0
Achtung: Division durch 0 ist nicht definiert

Schnelle Beispiele
Kehrwert von 4: 1/4 = 0.25
Kehrwert von 0.5: 1/0.5 = 2
Kehrwert von -2: 1/(-2) = -0.5
Kehrwert von 0: nicht definiert!

Formeln und Eigenschaften des Kehrwerts

Definition
\[\text{Kehrwert von } x = \frac{1}{x} = x^{-1}\]

Grundlegende Definition des multiplikativen Inversen

Fundamentaleigenschaft
\[x \cdot \frac{1}{x} = 1 \quad (x \neq 0)\]

Eine Zahl mal ihrem Kehrwert ergibt immer 1

Kehrwert des Kehrwerts
\[\frac{1}{\frac{1}{x}} = x \quad (x \neq 0)\]

Der Kehrwert des Kehrwerts ist die ursprüngliche Zahl

Kehrwert negativer Zahlen
\[\frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} \quad (x \neq 0)\]

Vorzeichenregeln beim Kehrwert

Bruchregeln
\[\frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a} \quad (a,b \neq 0)\]

Kehrwert eines Bruchs durch Vertauschen von Zähler und Nenner

Undefinierter Fall
\[\frac{1}{0} = \text{nicht definiert}\]

Division durch Null ist mathematisch nicht erlaubt

Beispielrechnungen mit Kehrwerten

Beispiel 1: Positive Zahl
x = 4
Kehrwert: 1/4 = 0.25
Verifikation: 4 × 0.25 = 1 ✓
\[\frac{1}{4} = 0{,}25\]
Beispiel 2: Dezimalzahl
x = 0.5
Kehrwert: 1/0.5 = 2
Verifikation: 0.5 × 2 = 1 ✓
\[\frac{1}{0{,}5} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2\]
Beispiel 3: Negative Zahl
x = -2
Kehrwert: 1/(-2) = -0.5
Verifikation: (-2) × (-0.5) = 1 ✓
\[\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} = -0{,}5\]
Beispiel 4: Null (Undefiniert)
x = 0
Problem: Division durch 0 nicht erlaubt
Ergebnis: Kehrwert existiert nicht
\[\frac{1}{0} = \text{undefiniert}\]
Praktische Anwendungen
Bruchrechnung
Gleichungen lösen
Verhältnisse
Physikalische Einheiten

Der Kehrwert ist ein fundamentales Konzept in vielen Bereichen der Mathematik

Anwendungen des Kehrwerts

Der Kehrwert ist ein fundamentales Konzept mit vielfältigen Anwendungen:

Bruchrechnung & Algebra
  • Division als Multiplikation mit Kehrwert
  • Brüche kürzen und erweitern
  • Gleichungen lösen (x/a = b → x = a·b)
  • Verhältnisrechnungen
Physik & Technik
  • Elektrischer Widerstand (R) und Leitwert (G = 1/R)
  • Frequenz (f) und Periode (T = 1/f)
  • Geschwindigkeit und Zeit
  • Optik: Brennweite und Brechkraft
Wirtschaft & Statistik
  • Preis-Leistungs-Verhältnisse
  • Produktivitätsmessungen
  • Umrechnungen von Einheiten
  • Normierung und Skalierung
Mathematische Grundlagen
  • Multiplikative Inverse in Körpern
  • Matrixinvertierung
  • Funktionsumkehrung
  • Komplexe Zahlen und Konjugation

Der Kehrwert: Grundlage der Division und Algebra

Der Kehrwert oder multiplikative Inverse einer Zahl x ist die Zahl 1/x, mit der x multipliziert 1 ergibt. Dieses scheinbar einfache Konzept bildet die Grundlage für die Division als "Multiplikation mit dem Kehrwert" und ist fundamental für die gesamte Algebra. Der Kehrwert verbindet arithmetische Operationen mit algebraischen Strukturen und zeigt die tiefe Verbindung zwischen Multiplikation und Division.

Eigenschaften
  • x · (1/x) = 1 für alle x ≠ 0
  • Kehrwert des Kehrwerts ist x
  • Distributivität: 1/(ab) = (1/a)·(1/b)
  • Vorzeichenerhaltung bei Betragsbildung
Bedeutung
  • Grundlage der Division a/b = a·(1/b)
  • Bruchrechnung und Verhältnisse
  • Lösung linearer Gleichungen
  • Einheitenumrechnungen
Besonderheiten
  • Kehrwert von 0 nicht definiert
  • Kehrwert von 1 ist 1
  • Kehrwert von -1 ist -1
  • Bei |x| < 1 ist |1/x| > 1
Zusammenfassung

Der Kehrwert verbindet elementare Arithmetik mit algebraischen Strukturen. Die einfache Definition 1/x führt zu fundamentalen Einsichten über multiplikative Strukturen und ermöglicht die elegante Behandlung von Divisionen als Multiplikationen. Von der Grundschularithmetik bis zur abstrakten Algebra bleibt der Kehrwert ein zentrales Konzept, das zeigt, wie mathematische Einfachheit und Tiefe Hand in Hand gehen können.