Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Rechner und Beispiel zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers

ggT Rechner

Größter gemeinsamer Teiler

Berechnet den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier natürlicher Zahlen mit dem Euklidischen Algorithmus. Der ggT ist die größte Zahl, die beide Zahlen ohne Rest teilt.

ggT(328, 256) = ?
Zahlen eingeben
Natürliche Zahl größer als 0
Natürliche Zahl größer als 0
Berechnungsergebnis
ggT =
Berechnung mit dem Euklidischen Algorithmus

ggT Info

Eigenschaften

ggT: Größte Zahl, die beide Werte ohne Rest teilt

Euklid Algorithmus ggT

Definition: ggT(a,b) ist die größte positive ganze Zahl, die sowohl a als auch b ohne Rest teilt
Berechnung: Euklidischer Algorithmus

Algorithmus-Schritte
1. Größere durch kleinere Zahl teilen
2. Divisor durch Rest teilen
3. Wiederholen bis Rest = 0
4. Letzter Divisor ist der ggT

Euklidischer Algorithmus

Algorithmus-Definition
\[\gcd(a,b) = \gcd(b, a \bmod b)\]

Rekursive Definition des Euklidischen Algorithmus

Basis-Fall
\[\gcd(a,0) = a\]

Terminierungsbedingung des Algorithmus

Eigenschaften
\[\gcd(a,b) = \gcd(|a|,|b|)\] \[\gcd(a,b) \cdot \text{lcm}(a,b) = a \cdot b\]

Wichtige mathematische Eigenschaften

Komplexität
\[O(\log(\min(a,b)))\]

Logarithmische Zeitkomplexität

Beispiel: ggT(328, 256)

Schritt-für-Schritt Berechnung
Schritt 1: 328 ÷ 256 = 1 Rest 72
Schritt 2: 256 ÷ 72 = 3 Rest 40
Schritt 3: 72 ÷ 40 = 1 Rest 32
Schritt 4: 40 ÷ 32 = 1 Rest 8
Schritt 5: 32 ÷ 8 = 4 Rest 0 ✓
ggT(328, 256) = 8
Erklärung

Der Algorithmus teilt immer die größere durch die kleinere Zahl

Der Rest wird zum neuen Divisor

Wiederholung bis Rest = 0

Letzter Divisor ist der ggT

Verifikation

328 ÷ 8 = 41 ✓

256 ÷ 8 = 32 ✓

Algorithmus-Schritte visualisiert
a ÷ b
→ Rest r
b ÷ r
→ Rest r'
...
Rest = 0

Wiederholung bis der Rest null wird

Anwendungen des ggT

Der größte gemeinsame Teiler ist fundamental in der Mathematik und hat praktische Anwendungen:

Bruchrechnung
  • Brüche vollständig kürzen
  • Gemeinsamen Nenner bestimmen
  • Äquivalente Brüche finden
  • Bruchoperationen vereinfachen
Kryptographie
  • RSA-Verschlüsselung
  • Primzahltests
  • Modulare Inverse berechnen
  • Chinesischer Restsatz
Ingenieurswesen
  • Zahnradübersetzungen optimieren
  • Periodische Signale analysieren
  • Taktfrequenzen synchronisieren
  • Modulare Systeme entwerfen
Algorithmik
  • Effizienz-Analyse
  • Zahlentheoretische Algorithmen
  • Computeralgebra-Systeme
  • Optimierungsprobleme

Der ggT: Grundlage der Zahlentheorie

Der größte gemeinsame Teiler ist ein zentrales Konzept der elementaren Zahlentheorie. Der Euklidische Algorithmus, einer der ältesten bekannten Algorithmen (ca. 300 v. Chr.), bietet eine elegante und effiziente Methode zur ggT-Berechnung. Seine logarithmische Zeitkomplexität macht ihn auch für große Zahlen praktikabel und bildet die Grundlage für viele moderne kryptographische Verfahren und computeralgebraische Anwendungen.

Eigenschaften
  • ggT(a,b) teilt sowohl a als auch b
  • Jeder gemeinsame Teiler teilt den ggT
  • ggT(a,b) = ggT(b, a mod b)
  • ggT(a,0) = |a|
Bedeutung
  • Fundamentale Zahlentheorie
  • Grundlage der Kryptographie
  • Algebraische Algorithmen
  • Praktische Anwendungen
Algorithmus-Vorteile
  • Sehr effizient (logarithmisch)
  • Einfach zu implementieren
  • Funktioniert für alle Zahlen
  • Über 2000 Jahre bewährt
Zusammenfassung

Der größte gemeinsame Teiler verbindet antike mathematische Weisheit mit modernen Anwendungen. Der Euklidische Algorithmus demonstriert die Eleganz mathematischer Algorithmen und ihre zeitlose Relevanz. Von der Bruchrechnung bis zur RSA-Verschlüsselung zeigt der ggT, wie grundlegende zahlentheoretische Konzepte die Basis für komplexe technische Innovationen bilden und mathematische Schönheit mit praktischem Nutzen vereinen.