Umgekehrter Dreisatz

Rechner zur Berechnung des umgekehrten Dreisatzes (indirekte Proportionalität)

Umgekehrter Dreisatz Rechner

Was ist der umgekehrte Dreisatz?

Der umgekehrte Dreisatz wird bei indirekter Proportionalität verwendet: Wenn eine Größe zunimmt, nimmt die andere ab. Das Produkt beider Größen bleibt konstant.

4
×
20
=
5
x
Bekannte Werte eingeben
Erste Größe, erste Situation
Zweite Größe, erste Situation
Erste Größe, zweite Situation
Berechnungsergebnis
x =
Berechnung: a × b = c × x → x = (a × b) / c

Dreisatz Info

Eigenschaften

Indirekte Proportionalität: Wenn eine Größe steigt, fällt die andere

a × b = konstant umgekehrt antiproportional

Regel: Mehr Arbeiter → Weniger Zeit
Formel: a₁ × b₁ = a₂ × b₂

Schnelle Beispiele
Arbeiter & Zeit: 4×20 = 5×16 Std
Geschwindigkeit & Zeit: 60×2 = 80×1,5 h
Helligkeit & Entfernung: 100×1 = 25×4 m


Formeln des umgekehrten Dreisatzes

Grundformel
\[a_1 \times b_1 = a_2 \times b_2\]

Produkt bleibt bei indirekter Proportionalität konstant

Auflösung nach x
\[x = \frac{a_1 \times b_1}{a_2}\]

Unbekannte Variable durch Kreuzprodukt berechnen

Allgemeine Form
\[\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\]

Verhältnis der ersten Größen ist umgekehrt zum Verhältnis der zweiten

Erkennungsmerkmal
\[\text{Wenn } a \uparrow \text{ dann } b \downarrow\] \[\text{Wenn } a \downarrow \text{ dann } b \uparrow\]

Eine Größe steigt, die andere fällt

Hyperbelfunktion
\[y = \frac{k}{x} \text{ mit } k = \text{const.}\]

Grafische Darstellung als Hyperbel

Konstante k
\[k = a_1 \times b_1 = a_2 \times b_2\]

Produktkonstante charakterisiert die indirekte Proportionalität

Beispielrechnungen zum umgekehrten Dreisatz

Beispiel: Arbeiter und Arbeitszeit
Problemstellung
5 Arbeiter → 12 Tage 8 Arbeiter → ? Tage

Mehr Arbeiter benötigen weniger Zeit für die gleiche Arbeit.

Schritt 1: Verhältnis erkennen
Indirekte Proportionalität: Mehr Arbeiter → Weniger Zeit
Das Arbeitsvolumen (Arbeiter × Zeit) bleibt konstant
Schritt 2: Gleichung aufstellen
5 Arbeiter × 12 Tage = 8 Arbeiter × x Tage
60 = 8x
Schritt 3: Nach x auflösen
x = 60 ÷ 8 = 7,5 Tage
Ergebnis: 8 Arbeiter benötigen 7,5 Tage
\[5 \times 12 = 8 \times x\] \[60 = 8x \Rightarrow x = \frac{60}{8} = 7{,}5\]
Beispiel 2: Geschwindigkeit und Fahrzeit
60 km/h → 2 Stunden 80 km/h → ? Stunden
Indirekte Proportionalität: Höhere Geschwindigkeit → Kürzere Zeit
60 × 2 = 80 × x → 120 = 80x → x = 1,5 h
Ergebnis: Bei 80 km/h dauert die Fahrt 1,5 Stunden
Weitere Beispiele
Helligkeit & Entfernung:
100 Lux bei 1m → 25 Lux bei 2m
Pumpen & Zeit:
2 Pumpen × 6h = 3 Pumpen × 4h
Kraft & Hebelarm:
10 N × 30 cm = 15 N × 20 cm
Erkennungsmerkmale
Eine Größe steigt
Andere Größe fällt
Produkt konstant
Schlüsselwörter: "Je mehr... desto weniger"
Unterschied: Direkter vs. Umgekehrter Dreisatz
Direkter Dreisatz
Beide Größen ändern sich gleichsinnig
a/b = c/x → x = (b×c)/a
Umgekehrter Dreisatz
Größen ändern sich gegensinnig
a×b = c×x → x = (a×b)/c

Die Art der Proportionalität bestimmt die Rechenweise

Anwendungen des umgekehrten Dreisatzes

Der umgekehrte Dreisatz findet Anwendung bei allen indirekten Proportionalitäten:

Personalplanung & Arbeitszeit
  • Arbeiter und benötigte Zeit
  • Maschinen und Produktionsdauer
  • Teams und Projektzeit
  • Schichtplanung und Kapazität
Geschwindigkeit & Zeit
  • Reisegeschwindigkeit und Fahrtdauer
  • Produktionsgeschwindigkeit und Zeit
  • Datenübertragung und Transferzeit
  • Fließgeschwindigkeit und Füllzeit
Physikalische Gesetze
  • Lichtintensität und Entfernung (1/r²)
  • Gravitationskraft und Entfernung
  • Elektrische Feldstärke
  • Druck und Volumen (Boyle-Gesetz)
Mechanik & Hebel
  • Kraft und Hebelarm
  • Drehmoment-Berechnungen
  • Übersetzungsverhältnisse
  • Mechanische Vorteilsberechnung

Umgekehrter Dreisatz: Indirekte Proportionalität verstehen

Der umgekehrte Dreisatz ist das mathematische Werkzeug für alle Situationen, in denen sich zwei Größen gegenläufig verhalten: Wenn eine steigt, fällt die andere. Diese indirekte Proportionalität begegnet uns täglich – von der einfachen Erkenntnis, dass mehr Arbeiter weniger Zeit benötigen, bis zu komplexen physikalischen Gesetzen wie dem umgekehrten Quadratgesetz für Gravitationskraft. Das charakteristische Merkmal ist die Konstanz des Produkts: a₁ × b₁ = a₂ × b₂. Diese Erkenntnis ermöglicht präzise Vorhersagen und Berechnungen in Technik, Wissenschaft und Alltag.

Charakteristika
  • Gegenläufige Entwicklung der Größen
  • Produktkonstanz: a × b = konstant
  • Hyperbelfunktion y = k/x
  • Kreuzprodukt-Berechnung
Erkennungsmerkmale
  • "Je mehr... desto weniger"
  • Arbeiter ↔ Zeit, Geschwindigkeit ↔ Zeit
  • Kraft ↔ Hebelarm, Helligkeit ↔ Entfernung
  • Eine Größe verdoppelt → andere halbiert
Abgrenzung
  • Nicht bei direkter Proportionalität
  • Vorsicht bei komplexen Abhängigkeiten
  • Physikalische Gesetze beachten
  • Plausibilitätsprüfung wichtig
Zusammenfassung

Der umgekehrte Dreisatz offenbart die mathematische Eleganz indirekter Proportionalitäten. Während der direkte Dreisatz gleichsinnige Änderungen beschreibt, erfasst der umgekehrte Dreisatz die subtileren gegenläufigen Beziehungen unserer Welt. Von der Personalplanung bis zur Quantenphysik – überall wo "mehr von einem weniger vom anderen" bedeutet, liefert der umgekehrte Dreisatz präzise Antworten. Er transformiert die intuitive Erkenntnis "je mehr, desto weniger" in berechenbare mathematische Beziehungen und macht damit komplexe Zusammenhänge planbar und vorhersagbar.