Binomische Formeln

Rechner zur Berechnung und Expansion der drei binomischen Formeln

Binomische Formeln Rechner

Binomische Formeln

Berechnet die Expansion binomischer Ausdrücke mit zwei Variablen a und b durch systematische Ausmultiplikation der drei Grundformeln

Was sind binomische Formeln?

Binomische Formeln sind algebraische Identitäten zum Ausmultiplizieren von Produkten aus Binomen (Ausdrücke mit zwei Gliedern). Sie erleichtern Berechnungen und verhindern Rechenfehler.

Wählen Sie die binomische Formel
Erste Formel
\((a + b)^2\)
\(a^2 + 2ab + b^2\)
Zweite Formel
\((a - b)^2\)
\(a^2 - 2ab + b^2\)
Dritte Formel
\((a + b)(a - b)\)
\(a^2 - b^2\)
Variable a
Numerischer Wert
Variable b
Numerischer Wert
Binomische Formel Ergebnis
Wählen Sie eine Formel und geben Sie Werte ein
Die binomische Formel wird mit den eingegebenen Werten berechnet

Formel Info

Binomische Formeln

Merkformeln: Erleichtern das Ausmultiplizieren von Binomen

(a±b)² a²±2ab+b² Expansion

Erste: (a+b)² = a²+2ab+b²
Zweite: (a-b)² = a²-2ab+b²
Dritte: (a+b)(a-b) = a²-b²

Beispiele
(3+2)²: 9 + 12 + 4 = 25
(5-1)²: 25 - 10 + 1 = 16
(4+3)(4-3): 16 - 9 = 7
Merkregel
Erste Formel: "Plus"
Zweite Formel: "Minus"
Dritte Formel: "Differenz der Quadrate"

Die drei binomischen Formeln

Erste binomische Formel
\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
Herleitung: \[(a + b)^2 = (a + b)(a + b)\] \[= a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
Zweite binomische Formel
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
Herleitung: \[(a - b)^2 = (a - b)(a - b)\] \[= a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
Dritte binomische Formel
\[(a + b)(a - b) = a^2 - b^2\]
Herleitung: \[(a + b)(a - b)\] \[= a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2\]

Rechenbeispiele für binomische Formeln

Beispiel 1: (7 + 3)²
a = 7, b = 3
\[\begin{aligned} (7 + 3)^2 &= 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot 3 + 3^2 \\ &= 49 + 42 + 9 \\ &= 100 \end{aligned}\]

Erste binomische Formel

Beispiel 2: (8 - 3)²
a = 8, b = 3
\[\begin{aligned} (8 - 3)^2 &= 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 + 3^2 \\ &= 64 - 48 + 9 \\ &= 25 \end{aligned}\]

Zweite binomische Formel

Beispiel 3: (6 + 4)(6 - 4)
a = 6, b = 4
\[\begin{aligned} (6 + 4)(6 - 4) &= 6^2 - 4^2 \\ &= 36 - 16 \\ &= 20 \end{aligned}\]

Dritte binomische Formel

Erkennungsregeln
Erste Formel

• Beide Terme addiert

• Quadriert: (a+b)²

• Mittlerer Term: +2ab

Zweite Formel

• Terme subtrahiert

• Quadriert: (a-b)²

• Mittlerer Term: -2ab

Dritte Formel

• Summe × Differenz

• (a+b)(a-b)

• Nur: a² - b²

Die mittleren Terme (±2ab) fallen bei der dritten Formel weg!

Anwendungen der binomischen Formeln

Binomische Formeln sind fundamentale Werkzeuge der Algebra mit breiten Anwendungen:

Schulmathematik
  • Termumformungen und Vereinfachungen
  • Gleichungen lösen und faktorisieren
  • Kopfrechnen bei speziellen Zahlen
  • Geometrische Flächenberechnungen
Höhere Mathematik
  • Polynomdivision und Faktorisierung
  • Integrale und Ableitungen vereinfachen
  • Komplexe Zahlen und algebraische Strukturen
  • Binomialsatz und Kombinatorik
Naturwissenschaften
  • Physik: Energie- und Impulserhaltung
  • Chemie: Reaktionsgleichungen
  • Ingenieurswesen: Optimierungsprobleme
  • Statistik: Varianzberechnungen
Praktische Anwendungen
  • Zinseszinsrechnungen vereinfachen
  • Geometrische Konstruktionen
  • Computergrafik: Koordinatentransformationen
  • Signalverarbeitung und Fourier-Analyse

Binomische Formeln: Fundament der Algebra

Die binomischen Formeln gehören zu den fundamentalsten Werkzeugen der Algebra und bilden die Grundlage für komplexere mathematische Konzepte. Diese drei eleganten Identitäten - (a±b)² = a² ± 2ab + b² und (a+b)(a-b) = a² - b² - transformieren scheinbar komplizierte Multiplikationen in überschaubare Standardformen. Von der elementaren Termumformung bis zur höheren Analysis, von geometrischen Flächenberechnungen bis zu komplexen Zahlen durchziehen diese Formeln die gesamte Mathematik als unverzichtbare Rechenwerkzeuge und strukturelle Bausteine.

Zusammenfassung

Die binomischen Formeln verbinden algebraische Eleganz mit praktischer Anwendbarkeit. Ihre scheinbare Einfachheit verbirgt tiefe mathematische Strukturen, die von der Grundschul-Arithmetik bis zur modernen Algebra reichen. Als Merkformeln erleichtern sie Berechnungen und verhindern Fehler, als mathematische Identitäten erschließen sie neue Lösungswege und Zusammenhänge. Von der effizienten Berechnung spezieller Produkte über die Faktorisierung komplexer Terme bis zur geometrischen Interpretation von Flächeninhalten zeigen die binomischen Formeln, wie fundamentale mathematische Prinzipien praktische Probleme elegant und systematisch lösen können.

Ist diese Seite hilfreich?            
Vielen Dank für Ihr Feedback!

Das tut uns leid

Wie können wir die Seite verbessern?