Fünfeckige Doppelpyramide Rechner
Rechner und Formeln zur fünfeckigen Doppelpyramide (Johnson Körper J13)
Doppelpyramide Rechner
Die Fünfeckige Doppelpyramide
Die fünfeckige Doppelpyramide ist ein Johnson Körper (J13) bestehend aus 10 gleichseitigen Dreiecken mit goldenem Schnitt.
Johnson Körper J13 Eigenschaften
Die Pentagon-Doppelpyramide: Zwei fünfeckige Pyramiden verbunden
Doppelpyramide Struktur
Die Pentagon-Doppelpyramide mit goldenem Schnitt.
Johnson Körper J13.
Was ist eine fünfeckige Doppelpyramide?
Die fünfeckige Doppelpyramide ist ein faszinierender Johnson Körper:
- Definition: Zwei fünfeckige Pyramiden an der Basis verbunden
- Johnson Körper: J13 in der Klassifikation
- Flächen: 10 kongruente gleichseitige Dreiecke
- Ecken: 7 Ecken insgesamt
- Kanten: 15 Kanten (5+5+5)
- Symmetrie: D5h-Symmetrie mit goldenem Schnitt
Geometrische Eigenschaften der Pentagon-Doppelpyramide
Die fünfeckige Doppelpyramide zeigt bemerkenswerte geometrische Eigenschaften:
Grundparameter
- Flächen: 10 gleichseitige Dreiecke
- Ecken: 7 Ecken (5 äquatorial, 2 polar)
- Kanten: 15 Kanten (alle gleich lang)
- Euler-Charakteristik: V - E + F = 7 - 15 + 10 = 2
Besondere Eigenschaften
- Deltaeder: Alle Flächen sind Dreiecke
- Gleichseitig: Alle Dreiecke sind gleichseitig
- Pentagon-Basis: Regelmäßige Fünfecke als Basis
- Goldener Schnitt: Enthält φ = (1+√5)/2
Mathematische Beziehungen mit goldenem Schnitt
Die fünfeckige Doppelpyramide folgt eleganten Gesetzen mit goldenem Schnitt:
Volumen-Formel
Enthält den goldenen Schnitt φ = (1+√5)/2. Elegant und harmonisch.
Oberflächen-Formel
10 gleichseitige Dreiecke. Pentagon-√3 Beziehung.
Anwendungen der Pentagon-Doppelpyramide
Fünfeckige Doppelpyramiden finden Anwendung in verschiedenen Bereichen:
Architektur & Kunst
- Pentagon-Dachkonstruktionen
- Sakrale Architektur (Kapellen)
- Dekorative Türme und Spitzen
- Moderne Skulpturen
Wissenschaft & Natur
- Molekulare Strukturen
- Kristallographische Formen
- Botanische Strukturen (Blüten)
- Goldener Schnitt in der Natur
Bildung & Mathematik
- Pentagon-Geometrie-Studien
- Goldener Schnitt Demonstrationen
- Johnson Körper Klassifikation
- 3D-Geometrie Visualisierung
Design & Handwerk
- Schmuckdesign (Anhänger)
- Origami und Papierkunst
- 3D-Druck Objekte
- Dekorative Lampen
Formeln zur fünfeckigen Doppelpyramide
Volumen (V)
Volumen mit goldenem Schnitt φ = (1+√5)/2
Oberfläche (S)
10 gleichseitige Dreiecke mit √3 Beziehung
Höhe (h)
Höhe mit √5 für Pentagon-Proportionen
Johnson Körper
13. Johnson Körper in der Klassifikation
Pentagon-Doppelpyramide Parameter
10 gleichseitige △
7 Ecken
15 Kanten
D5h
Alle Eigenschaften folgen aus der Pentagon-Symmetrie mit goldenem Schnitt
Berechnungsbeispiel für eine fünfeckige Doppelpyramide
Gegeben
Gesucht: Alle Eigenschaften der fünfeckigen Doppelpyramide
1. Volumen-Berechnung
Für a = 10:
\[V = \frac{5 + \sqrt{5}}{12} \cdot 10^3\] \[V = \frac{5 + 2.236}{12} \cdot 1000\] \[V ≈ 0.603 \cdot 1000\] \[V ≈ 603.0\]Das Volumen beträgt etwa 603.0 Volumeneinheiten
2. Oberflächen-Berechnung
Für a = 10:
\[S = \frac{5\sqrt{3}}{2} \cdot 10^2\] \[S = \frac{5 \cdot 1.732}{2} \cdot 100\] \[S ≈ 4.33 \cdot 100\] \[S ≈ 433.0\]Die Oberfläche beträgt etwa 433.0 Flächeneinheiten
3. Höhen-Berechnung
Für a = 10:
\[h = 2 \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{ 10}} \cdot 10\] \[h = 2 \sqrt{\frac{5 - 2.236}{ 10}} \cdot 10\] \[h ≈ 1.051 \cdot 10\] \[h ≈ 10.51\]Die Höhe beträgt etwa 10.51 Längeneinheiten
4. Die perfekte Pentagon-Doppelpyramide
Die fünfeckige Doppelpyramide mit Pentagon-Symmetrie und goldenem Schnitt
Die fünfeckige Doppelpyramide: Pentagon-Harmonie mit goldenem Schnitt
Die fünfeckige Doppelpyramide ist ein außergewöhnlicher Johnson Körper, der die Magie des goldenen Schnitts mit der Eleganz der Pentagon-Symmetrie vereint. Durch die Verbindung zweier fünfeckiger Pyramiden an ihrer regelmäßigen Fünfeck-Grundfläche entsteht eine einzigartige Struktur mit 10 kongruenten gleichseitigen Dreiecken, die diesen Körper zu einem der faszinierendsten Beispiele für die Verbindung von Geometrie und natürlicher Harmonie macht. Die mathematische Schönheit liegt in den eleganten Beziehungen mit dem goldenen Schnitt φ = (1+√5)/2 und Quadratwurzeln von 3 und 5, die alle geometrischen Eigenschaften harmonisch miteinander verknüpfen.
Die Geometrie des goldenen Schnitts
Die fünfeckige Doppelpyramide zeigt die Perfektion der Pentagon-Symmetrie:
- Deltaeder: Alle 10 Flächen sind kongruente gleichseitige Dreiecke
- D5h-Symmetrie: Fünfzählige Rotationssymmetrie mit Spiegelebene
- Goldener Schnitt: Alle Proportionen folgen φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618
- Johnson Körper: J13 in der klassischen Klassifikation
- Pentagon-Basis: Regelmäßige Fünfecke als Verbindungsflächen
- Uniformität: Alle 15 Kanten haben dieselbe Länge
- Natürliche Harmonie: Entspricht Proportionen in der Natur
Mathematische Eleganz mit φ
Goldener Schnitt Perfektion
Die Formeln der fünfeckigen Doppelpyramide enthalten den goldenen Schnitt φ, der die harmonischen Proportionen natürlicher Strukturen widerspiegelt.
Pentagon-Verwandtschaft
Als Verbindung zweier Pentagon-Pyramiden zeigt sie die tiefe Verbindung zwischen Fünfeck-Geometrie und natürlicher Harmonie.
Strukturelle Pentagon-Harmonie
Die fünfzählige Symmetrie und der goldene Schnitt machen die Pentagon-Doppelpyramide zu einer bevorzugten Form in Natur, Kunst und Architektur.
Ästhetische Vollendung
Die harmonische Vereinigung zweier Pentagon-Pyramiden mit goldenem Schnitt erzeugt eine einzigartige visuelle Balance zwischen mathematischer Präzision und natürlicher Schönheit.
Zusammenfassung
Die fünfeckige Doppelpyramide verkörpert die perfekte Verbindung zwischen mathematischer Präzision und natürlicher Harmonie. Ihre Struktur aus zehn gleichseitigen Dreiecken, beschrieben durch elegante Formeln mit dem goldenen Schnitt φ, macht sie zu einem faszinierenden Studienobjekt für Mathematiker, Architekten, Künstler und Naturwissenschaftler. Als Johnson Körper J13 zeigt sie, wie die Pentagon-Symmetrie mit dem goldenen Schnitt zu völlig neuen geometrischen Welten führen kann. Von der reinen Mathematik über die Naturbeobachtung bis zur praktischen Anwendung in Kunst und Architektur bleibt die fünfeckige Doppelpyramide ein faszinierendes Beispiel für die Kraft der Pentagon-Geometrie und die universelle Schönheit des goldenen Schnitts. Ihre Erscheinung in natürlichen Strukturen wie Blüten und Kristallen unterstreicht die fundamentale Bedeutung der Fünfeck-Symmetrie in unserem Universum.
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