Verlängerte Quadratische Doppelpyramide Rechner
Rechner und Formeln zur verlängerten quadratischen Doppelpyramide (Johnson Körper J15)
Verlängerte Doppelpyramide Rechner
Die Verlängerte Quadratische Doppelpyramide
Die verlängerte quadratische Doppelpyramide ist ein Johnson Körper (J15) bestehend aus 8 gleichseitigen Dreiecken und 4 Quadraten.
Johnson Körper J15 Eigenschaften
Die verlängerte Struktur: Quadratische Basis mit Dreiecks-Aufsätzen
Verlängerte Doppelpyramide Struktur
Die verlängerte quadratische Doppelpyramide mit stabiler Basis.
Johnson Körper J15.
Was ist eine verlängerte quadratische Doppelpyramide?
Die verlängerte quadratische Doppelpyramide ist ein außergewöhnlicher Johnson Körper:
- Definition: Quadratische Basis mit pyramidalen Aufsätzen
- Johnson Körper: J15 in der Klassifikation
- Flächen: 8 gleichseitige Dreiecke + 4 Quadrate
- Ecken: 10 Ecken insgesamt
- Kanten: 18 Kanten (alle gleich lang)
- Symmetrie: D4h-Symmetrie
Geometrische Eigenschaften der verlängerten Doppelpyramide
Die verlängerte quadratische Doppelpyramide zeigt bemerkenswerte geometrische Eigenschaften:
Grundparameter
- Flächen: 8 gleichseitige Dreiecke + 4 Quadrate
- Ecken: 10 Ecken (4 äquatorial, 4 mittlere, 2 polar)
- Kanten: 18 Kanten (alle gleich lang)
- Euler-Charakteristik: V - E + F = 10 - 18 + 12 = 4? Nein! = 2
Besondere Eigenschaften
- Verlängerung: Quadratischer Mittelteil zwischen Pyramiden
- Gleichkant: Alle Kanten haben dieselbe Länge
- Stabil: Quadratische Basis für Stabilität
- Konvex: Keine einspringenden Kanten oder Ecken
Mathematische Beziehungen
Die verlängerte quadratische Doppelpyramide folgt eleganten mathematischen Gesetzen:
Volumen-Formel
Quadratische Basis plus pyramidale Aufbauten. Elegant mit √2 Beziehung.
Oberflächen-Formel
Kombination aus Quadraten und Dreiecken. Einfache √3 Beziehung für Dreiecke.
Anwendungen der verlängerten Doppelpyramide
Verlängerte quadratische Doppelpyramiden finden Anwendung in verschiedenen Bereichen:
Architektur & Bauwesen
- Turm- und Dachkonstruktionen
- Säulenabschlüsse und Kapitelle
- Strukturelle Verbindungselemente
- Dekorative Architekturelemente
Wissenschaft & Technik
- Kristallographische Strukturen
- Molekulare Modelle
- Optische Komponenten
- Mechanische Verbindungen
Bildung & Lehre
- Geometrie-Unterricht
- 3D-Geometrie-Studien
- Johnson Körper Demonstration
- Polyeder-Klassifikation
Kunst & Design
- Geometrische Skulpturen
- Moderne Kunstwerke
- Dekorative Objekte
- Schmuckdesign
Formeln zur verlängerten quadratischen Doppelpyramide
Volumen (V)
Volumen mit quadratischer Basis und pyramidalen Aufsätzen
Oberfläche (S)
4 Quadrate + 8 gleichseitige Dreiecke
Höhe (h)
Höhe mit √2 für optimale Proportionen
Johnson Körper
15. Johnson Körper in der Klassifikation
Verlängerte Doppelpyramide Parameter
8 △ + 4 □
10 Ecken
18 Kanten
D4h
Alle Eigenschaften folgen aus der verlängerten quadratischen Struktur
Berechnungsbeispiel für eine verlängerte quadratische Doppelpyramide
Gegeben
Gesucht: Alle Eigenschaften der verlängerten quadratischen Doppelpyramide
1. Volumen-Berechnung
Für a = 10:
\[V = \left(1+\frac{\sqrt{2}}{3}\right) \cdot 10^3\] \[V ≈ 1.4714 \cdot 1000\] \[V ≈ 1471.4\]Das Volumen beträgt etwa 1471.4 Volumeneinheiten
2. Oberflächen-Berechnung
Für a = 10:
\[S = (4 + 2\sqrt{3}) \cdot 10^2\] \[S ≈ 7.4641 \cdot 100\] \[S ≈ 746.41\]Die Oberfläche beträgt etwa 746.41 Flächeneinheiten
3. Höhen-Berechnung
Für a = 10:
\[h = \left(\frac{2}{\sqrt{2}} + 1 \right) \cdot 10\] \[h ≈ 2.4142 \cdot 10\] \[h ≈ 24.142\]Die Höhe beträgt etwa 24.142 Längeneinheiten
4. Die perfekte verlängerte Doppelpyramide
Die verlängerte quadratische Doppelpyramide mit stabiler quadratischer Basis
Die verlängerte quadratische Doppelpyramide: Eleganz und Stabilität
Die verlängerte quadratische Doppelpyramide ist ein faszinierender Johnson Körper, der die perfekte Balance zwischen Stabilität und Eleganz verkörpert. Durch die Kombination einer quadratischen Basis mit pyramidalen Aufsätzen entsteht eine einzigartige Struktur mit 8 gleichseitigen Dreiecken und 4 Quadraten, die diesen Körper zu einem der praktischsten und ästhetisch ansprechendsten Beispiele für geometrische Konstruktion macht. Die mathematische Schönheit liegt in den eleganten Beziehungen mit Quadratwurzeln von 2 und 3, die alle geometrischen Eigenschaften harmonisch miteinander verbinden.
Die Geometrie der verlängerten Struktur
Die verlängerte quadratische Doppelpyramide zeigt die Perfektion der erweiterten Symmetrie:
- Hybride Struktur: Kombination aus 8 gleichseitigen Dreiecken und 4 Quadraten
- D4h-Symmetrie: Vierzählige Rotationssymmetrie mit horizontaler Spiegelebene
- Uniformität: Alle 18 Kanten haben dieselbe Länge
- Johnson Körper: J15 in der klassischen Klassifikation
- Konvexität: Alle Ecken ragen nach außen
- Stabilität: Quadratische Basis sorgt für hohe Stabilität
- Praktikabilität: Ideal für strukturelle Anwendungen
Mathematische Eleganz der Verlängerung
Quadratwurzel-Harmonie
Die Formeln der verlängerten quadratischen Doppelpyramide zeigen elegante Beziehungen mit √2 und √3, die die geometrischen Proportionen perfekt beschreiben.
Strukturelle Perfektion
Die Kombination von quadratischer Basis und dreieckigen Aufsätzen schafft eine optimale Balance zwischen Stabilität und ästhetischer Wirkung.
Konstruktive Vorteile
Die verlängerte Struktur bietet sowohl geometrische Eleganz als auch praktische Vorteile für Bauanwendungen und Design.
Ästhetische Vollendung
Die harmonische Verbindung von Quadraten und Dreiecken erzeugt eine einzigartige visuelle Dynamik zwischen Ruhe und Bewegung.
Zusammenfassung
Die verlängerte quadratische Doppelpyramide verkörpert die perfekte Synthese zwischen mathematischer Eleganz und praktischer Anwendbarkeit. Ihre Struktur aus acht gleichseitigen Dreiecken und vier Quadraten, beschrieben durch harmonische Quadratwurzel-Formeln, macht sie zu einem faszinierenden Studienobjekt für Mathematiker, Architekten und Ingenieure. Als Johnson Körper J15 zeigt sie, wie die Verlängerung geometrischer Grundformen zu völlig neuen strukturellen Möglichkeiten führen kann. Von der reinen Geometrie bis zur praktischen Konstruktion bleibt die verlängerte quadratische Doppelpyramide ein herausragendes Beispiel für die Kraft der geometrischen Innovation und die Schönheit der erweiterten Symmetrie.
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