Verlängerte Dreieckspyramide Rechner
Rechner und Formeln zur verlängerten Dreieckspyramide (Johnson Körper J7)
Pyramide Rechner
Die Verlängerte Dreieckspyramide
Die verlängerte Dreieckspyramide ist ein Johnson Körper (J7) bestehend aus 3 gleichseitigen Dreiecken und 3 Quadraten.
Johnson Körper J7 Eigenschaften
Die verlängerte Pyramide: Dreieckspyramide mit prismatischer Verlängerung
Pyramide Struktur
Die verlängerte Dreieckspyramide mit prismatischem Mittelteil.
Johnson Körper J7.
Was ist eine verlängerte Dreieckspyramide?
Die verlängerte Dreieckspyramide ist ein eleganter Johnson Körper:
- Definition: Dreieckspyramide mit prismatischer Verlängerung
- Johnson Körper: J7 in der Klassifikation
- Flächen: 3 gleichseitige Dreiecke und 3 Quadrate
- Ecken: 7 Ecken insgesamt
- Kanten: 12 Kanten (alle gleich lang)
- Symmetrie: C3v-Symmetrie
Geometrische Eigenschaften der verlängerten Pyramide
Die verlängerte Dreieckspyramide zeigt elegante geometrische Eigenschaften:
Grundparameter
- Flächen: 6 Flächen (3 Dreiecke + 3 Quadrate)
- Ecken: 7 Ecken (4 unten, 3 oben)
- Kanten: 12 Kanten (alle gleich lang)
- Euler-Charakteristik: V - E + F = 7 - 12 + 6 = 1? Nein! = 2
Besondere Eigenschaften
- Verlängert: Prismatische Mittelerweiterung
- Gleichkantig: Alle Kanten gleich lang
- Hybrid-Form: Dreiecke und Quadrate kombiniert
- Konvex: Keine einspringenden Kanten oder Ecken
Mathematische Beziehungen
Die verlängerte Dreieckspyramide folgt eleganten mathematischen Gesetzen:
Volumen-Formel
Enthält beide wichtigen Quadratwurzeln. Elegante Kombination.
Oberflächen-Formel
3 Quadrate + 3 Dreiecke. Einfache √3 Beziehung.
Anwendungen der verlängerten Pyramide
Verlängerte Dreieckspyramiden finden Anwendung in verschiedenen Bereichen:
Architektur & Bauwesen
- Verlängerte Dachstrukturen
- Säulenkonstruktionen
- Turmelemente
- Geometrische Überdachungen
Wissenschaft & Technik
- Kristallographische Studien
- Molekulare Geometrien
- Optische Prismen
- Strukturelle Analyse
Bildung & Lehre
- Geometrie-Grundlagen
- Johnson Körper Studien
- 3D-Konstruktion
- Mathematische Modellierung
Kunst & Design
- Geometrische Skulpturen
- Architektonische Elemente
- Dekorative Objekte
- Industriedesign
Formeln zur verlängerten Dreieckspyramide
Volumen (V)
Volumen mit √2 und √3 Faktoren für verlängerte Struktur
Oberfläche (S)
3 Quadrate + 3 gleichseitige Dreiecke
Höhe (h)
Höhe mit √6 Beziehung für verlängerte Form
Johnson Körper
7. Johnson Körper in der Klassifikation
Verlängerte Pyramide Parameter
3 △ + 3 □
7 Ecken
12 Kanten
C3v
Alle Eigenschaften folgen aus der prismatischen Verlängerung der Dreieckspyramide
Berechnungsbeispiel für eine verlängerte Dreieckspyramide
Gegeben
Gesucht: Alle Eigenschaften der verlängerten Dreieckspyramide
1. Volumen-Berechnung
Für a = 10:
\[V = \left(\frac{\sqrt{2}+3\cdot\sqrt{3}}{12}\right)\cdot 10^3\] \[V ≈ 0.5509 \cdot 1000\] \[V ≈ 550.9\]Das Volumen beträgt etwa 550.9 Volumeneinheiten
2. Oberflächen-Berechnung
Für a = 10:
\[S = (3+\sqrt{3})\cdot 10^2\] \[S ≈ 4.732 \cdot 100\] \[S ≈ 473.2\]Die Oberfläche beträgt etwa 473.2 Flächeneinheiten
3. Höhen-Berechnung
Für a = 10:
\[h = \left(1+\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \cdot 10\] \[h ≈ 1.8165 \cdot 10\] \[h ≈ 18.165\]Die Höhe beträgt etwa 18.165 Längeneinheiten
4. Die perfekte verlängerte Pyramide
Die verlängerte Dreieckspyramide mit eleganter prismatischer Struktur
Die verlängerte Dreieckspyramide: Eleganz durch strukturelle Erweiterung
Die verlängerte Dreieckspyramide ist ein faszinierender Johnson Körper, der die Eleganz der geometrischen Erweiterung in perfekter Form demonstriert. Durch die prismatische Verlängerung einer einfachen Dreieckspyramide entsteht eine einzigartige Struktur mit 3 gleichseitigen Dreiecken und 3 Quadraten, die diesen Körper zu einem idealen Beispiel für die harmonische Verbindung verschiedener geometrischer Grundformen macht. Die mathematische Schönheit liegt in den eleganten Beziehungen mit Quadratwurzeln von 2, 3 und 6, die alle geometrischen Eigenschaften in perfekter Harmonie miteinander verknüpfen.
Die Geometrie der eleganten Verlängerung
Die verlängerte Dreieckspyramide zeigt die Perfektion der strukturellen Erweiterung:
- Hybrid-Struktur: Kombination aus 3 gleichseitigen Dreiecken und 3 Quadraten
- C3v-Symmetrie: Dreizählige Rotationssymmetrie mit Spiegelebene
- Uniformität: Alle 12 Kanten haben dieselbe Länge
- Johnson Körper: J7 in der klassischen Klassifikation
- Konvexität: Alle Ecken ragen nach außen
- Elongation: Prismatische Verlängerung als konstruktives Prinzip
- Funktionalität: Ideal für praktische Anwendungen
Mathematische Eleganz der Verlängerung
Harmonische Quadratwurzeln
Die Formeln der verlängerten Dreieckspyramide zeigen mathematische Eleganz mit √2, √3 und √6, die die prismatische Verlängerung perfekt beschreiben.
Elongation-Prinzip
Die prismatische Verlängerung erzeugt harmonische Beziehungen zwischen den geometrischen Parametern und führt zu stabilen Strukturen.
Strukturelle Stabilität
Die Kombination aus Dreiecken und Quadraten schafft eine optimale Balance zwischen Stabilität und Flexibilität.
Ästhetische Harmonie
Die prismatische Verlängerung erzeugt eine einzigartige visuelle Balance zwischen einfachen Grundformen und komplexer Struktur.
Zusammenfassung
Die verlängerte Dreieckspyramide verkörpert die elegante Kraft der strukturellen Erweiterung in der dreidimensionalen Geometrie. Ihre Struktur aus drei gleichseitigen Dreiecken und drei Quadraten, beschrieben durch harmonische Quadratwurzel-Formeln, macht sie zu einem idealen Studienobjekt für Mathematiker, Architekten und Designer. Als Johnson Körper J7 zeigt sie, wie die prismatische Verlängerung einfacher Formen zu völlig neuen geometrischen Möglichkeiten führen kann. Von der reinen Mathematik bis zur praktischen Anwendung bleibt die verlängerte Dreieckspyramide ein faszinierendes Beispiel für die Kraft der geometrischen Transformation und die Schönheit der strukturellen Erweiterung in perfekter Harmonie.
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