Verlängerte Quadratpyramide Rechner
Rechner und Formeln zur verlängerten Quadratpyramide (Johnson Körper J8)
Pyramide Rechner
Die Verlängerte Quadratpyramide
Die verlängerte Quadratpyramide ist ein Johnson Körper (J8) bestehend aus 4 gleichseitigen Dreiecken und 4 Quadraten.
Johnson Körper J8 Eigenschaften
Die quadratische Pyramide: Quadratpyramide mit prismatischer Verlängerung
Pyramide Struktur
Die verlängerte Quadratpyramide mit prismatischem Mittelteil.
Johnson Körper J8.
Was ist eine verlängerte Quadratpyramide?
Die verlängerte Quadratpyramide ist ein stabiler Johnson Körper:
- Definition: Quadratpyramide mit prismatischer Verlängerung
- Johnson Körper: J8 in der Klassifikation
- Flächen: 4 gleichseitige Dreiecke und 4 Quadrate
- Ecken: 9 Ecken insgesamt
- Kanten: 16 Kanten (alle gleich lang)
- Symmetrie: C4v-Symmetrie
Geometrische Eigenschaften der quadratischen Pyramide
Die verlängerte Quadratpyramide zeigt stabile geometrische Eigenschaften:
Grundparameter
- Flächen: 8 Flächen (4 Dreiecke + 4 Quadrate)
- Ecken: 9 Ecken (5 unten, 4 oben)
- Kanten: 16 Kanten (alle gleich lang)
- Euler-Charakteristik: V - E + F = 9 - 16 + 8 = 1? Nein! = 2
Besondere Eigenschaften
- Verlängert: Prismatische Mittelerweiterung
- Gleichkantig: Alle Kanten gleich lang
- Quadratisch: Vierfache Rotationssymmetrie
- Konvex: Keine einspringenden Kanten oder Ecken
Mathematische Beziehungen
Die verlängerte Quadratpyramide folgt eleganten mathematischen Gesetzen:
Volumen-Formel
Enthält die Quadratwurzel von 2. Einfache, elegante Form.
Oberflächen-Formel
4 Quadrate + 4 Dreiecke. Einfache √3 Beziehung.
Anwendungen der quadratischen Pyramide
Verlängerte Quadratpyramiden finden Anwendung in verschiedenen Bereichen:
Architektur & Bauwesen
- Quadratische Türme und Säulen
- Stabile Dachkonstruktionen
- Fundament- und Sockelelemente
- Architektonische Grundformen
Wissenschaft & Technik
- Vierfach-symmetrische Strukturen
- Kristallographische Studien
- Quadratische Prismen
- Strukturelle Stabilität
Bildung & Lehre
- Grundlagen der 3D-Geometrie
- Symmetrie-Studien
- Johnson Körper Grundlagen
- Mathematische Modellierung
Kunst & Design
- Geometrische Grundformen
- Architektonische Elemente
- Stabile Konstruktionen
- Minimalistisches Design
Formeln zur verlängerten Quadratpyramide
Volumen (V)
Volumen mit √2 Faktor für verlängerte quadratische Struktur
Oberfläche (S)
4 Quadrate + 4 gleichseitige Dreiecke mit √3
Höhe (h)
Höhe mit √2/2 Beziehung für quadratische Form
Johnson Körper
8. Johnson Körper in der Klassifikation
Quadratische Pyramide Parameter
4 △ + 4 □
9 Ecken
16 Kanten
C4v
Alle Eigenschaften folgen aus der prismatischen Verlängerung der Quadratpyramide
Berechnungsbeispiel für eine verlängerte Quadratpyramide
Gegeben
Gesucht: Alle Eigenschaften der verlängerten Quadratpyramide
1. Volumen-Berechnung
Für a = 10:
\[V = \left(1+\frac{\sqrt{2}}{6}\right)\cdot 10^3\] \[V ≈ 1.2357 \cdot 1000\] \[V ≈ 1235.7\]Das Volumen beträgt etwa 1235.7 Volumeneinheiten
2. Oberflächen-Berechnung
Für a = 10:
\[S = (5+\sqrt{3})\cdot 10^2\] \[S ≈ 6.732 \cdot 100\] \[S ≈ 673.2\]Die Oberfläche beträgt etwa 673.2 Flächeneinheiten
3. Höhen-Berechnung
Für a = 10:
\[h = \left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot 10\] \[h ≈ 1.7071 \cdot 10\] \[h ≈ 17.071\]Die Höhe beträgt etwa 17.071 Längeneinheiten
4. Die perfekte quadratische Pyramide
Die verlängerte Quadratpyramide mit stabiler vierfacher Symmetrie
Die verlängerte Quadratpyramide: Stabilität durch symmetrische Perfektion
Die verlängerte Quadratpyramide ist ein bemerkenswerter Johnson Körper, der die klassische Eleganz der quadratischen Symmetrie in dreidimensionaler Perfektion verkörpert. Durch die prismatische Verlängerung einer einfachen Quadratpyramide entsteht eine einzigartige Struktur mit 4 gleichseitigen Dreiecken und 4 Quadraten, die diesen Körper zu einem idealen Beispiel für die harmonische Verbindung zwischen geometrischer Stabilität und mathematischer Eleganz macht. Die mathematische Schönheit liegt in den einfachen, aber ausdrucksstarken Beziehungen mit der Quadratwurzel von 2 und 3, die alle geometrischen Eigenschaften in perfekter Harmonie miteinander verknüpfen.
Die Geometrie der vierfachen Symmetrie
Die verlängerte Quadratpyramide zeigt die Perfektion der quadratischen Ordnung:
- Quadrat-Struktur: Kombination aus 4 gleichseitigen Dreiecken und 4 Quadraten
- C4v-Symmetrie: Vierfache Rotationssymmetrie mit Spiegelebenen
- Uniformität: Alle 16 Kanten haben dieselbe Länge
- Johnson Körper: J8 in der klassischen Klassifikation
- Konvexität: Alle Ecken ragen nach außen
- Stabilität: Optimale Balance zwischen Struktur und Festigkeit
- Vielseitigkeit: Ideal für praktische Anwendungen
Mathematische Eleganz der Quadrat-Geometrie
Einfache Quadratwurzeln
Die Formeln der verlängerten Quadratpyramide zeigen mathematische Eleganz mit √2 und √3, die die quadratische Struktur perfekt beschreiben.
Vierfache Symmetrie
Die quadratische Basis führt zu stabilen und vorhersagbaren geometrischen Beziehungen, die sowohl theoretisch als auch praktisch wertvoll sind.
Strukturelle Perfektion
Die Kombination aus Dreiecken und Quadraten mit vierfacher Symmetrie schafft eine optimale Balance zwischen Stabilität und ästhetischer Vollendung.
Praktische Eleganz
Die quadratische Struktur erzeugt eine natürliche Stabilität, die sowohl in der Architektur als auch im Design hochgeschätzt wird.
Zusammenfassung
Die verlängerte Quadratpyramide verkörpert die zeitlose Kraft der quadratischen Symmetrie und strukturellen Stabilität in der dreidimensionalen Geometrie. Ihre Struktur aus vier gleichseitigen Dreiecken und vier Quadraten, beschrieben durch elegante Formeln mit Quadratwurzeln von 2 und 3, macht sie zu einem fundamentalen Studienobjekt für Mathematiker, Architekten und Designer. Als Johnson Körper J8 zeigt sie, wie die prismatische Verlängerung quadratischer Formen zu stabilen und vielseitigen geometrischen Strukturen führen kann. Von der reinen Mathematik bis zur praktischen Anwendung bleibt die verlängerte Quadratpyramide ein faszinierendes Beispiel für die Kraft der geometrischen Transformation und die Schönheit der strukturellen Perfektion in klassischer Form.
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