Fünfeckkuppel Rechner
Rechner und Formeln zur Fünfeckkuppel (Johnson Körper J5)
Fünfeckkuppel Rechner
Die Fünfeckkuppel
Die Fünfeckkuppel ist ein Johnson Körper (J5) mit dekagonaler Basis und fünfeckiger Deckfläche - ein Meisterwerk des goldenen Schnitts!
Johnson Körper J5 Eigenschaften
Die Pentagon-Kuppel: Dekagonale Basis mit fünfeckiger Deckfläche
Fünfeckkuppel Struktur
Die Fünfeckkuppel mit dekagonaler Basis und Pentagon-Spitze.
Johnson Körper J5 mit goldenem Schnitt φ.
Was ist eine Fünfeckkuppel?
Die Fünfeckkuppel ist ein außergewöhnlicher Johnson Körper mit goldenem Schnitt:
- Definition: Kuppelform mit dekagonaler (10-eckiger) Basis
- Johnson Körper: J5 in der Klassifikation
- Flächen: 1 Dekagon + 5 Quadrate + 6 Fünfecke
- Ecken: 15 Ecken insgesamt
- Kanten: 25 Kanten (alle gleich lang)
- Symmetrie: C5v-Symmetrie mit φ
Geometrische Eigenschaften der Fünfeckkuppel
Die Fünfeckkuppel zeigt bemerkenswerte geometrische Eigenschaften mit goldenem Schnitt φ = (1+√5)/2:
Grundparameter
- Flächen: 12 Flächen (1 Dekagon + 5 Quadrate + 6 Fünfecke)
- Ecken: 15 Ecken (10 am Boden, 5 in der Mitte)
- Kanten: 25 Kanten (alle gleich lang)
- Euler-Charakteristik: V - E + F = 15 - 25 + 12 = 2 ✓
Besondere Eigenschaften
- Goldener Schnitt: φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618
- Pentagonale Symmetrie: Fünfzählige Rotationsachse
- Reguläre Fünfecke: Alle Pentagon-Flächen sind regelmäßig
- Konvex: Keine einspringenden Kanten oder Ecken
Mathematische Beziehungen mit goldenem Schnitt
Die Fünfeckkuppel folgt den eleganten Gesetzen des goldenen Schnitts φ:
Volumen-Formel
Kuppelvolumen mit dekagonaler Basis. Elegant mit goldenem Schnitt φ.
Oberflächen-Formel
Kombination aus Dekagon, Quadraten und Fünfecken. Komplexe √5 und φ Beziehungen.
Anwendungen der Fünfeckkuppel
Fünfeckkuppeln finden Anwendung in verschiedenen Bereichen:
Architektur & Bauwesen
- Pentagon-basierte Kuppelkonstruktionen
- Dachaufbauten mit goldenem Schnitt
- Moderne Pavillons und Strukturen
- Dekorative Architekturelemente
Wissenschaft & Technik
- Kristallographische Strukturen
- Molekulare Modelle mit φ-Symmetrie
- Quasikristalline Strukturen
- Geodätische Konstruktionen
Bildung & Lehre
- Goldener Schnitt Demonstration
- Pentagonale Geometrie-Studien
- Johnson Körper Klassifikation
- Symmetrie und φ-Verhältnisse
Kunst & Design
- Goldener Schnitt Skulpturen
- Pentagonale Kunstwerke
- Harmonische Proportionen
- Schmuckdesign mit φ
Formeln zur Fünfeckkuppel
Volumen (V)
Kuppelvolumen mit goldenem Schnitt φ Beziehungen
Oberfläche (S)
1 Dekagon + 5 Quadrate + 6 regelmäßige Fünfecke
Höhe (h)
Höhe mit √5 für optimale Pentagon-Proportionen
Umkreisradius (r)
Umkreisradius mit √5 und goldenem Schnitt
Fünfeckkuppel Parameter mit goldenem Schnitt φ
1⬢₁₀ + 5□ + 6⬟
15 Ecken
25 Kanten
C5v
φ = (1+√5)/2
Alle Eigenschaften folgen aus der pentagonalen Symmetrie mit φ
Berechnungsbeispiel für eine Fünfeckkuppel
Gegeben
Gesucht: Alle Eigenschaften der Fünfeckkuppel mit goldenem Schnitt
1. Volumen-Berechnung
Für a = 10:
\[V = \frac{1}{6}(5+4\sqrt{5}) \cdot 10^3\] \[V ≈ 2.3241 \cdot 1000\] \[V ≈ 2324.1\]Das Volumen beträgt etwa 2324.1 Volumeneinheiten
2. Oberflächen-Berechnung
Für a = 10:
\[S = \frac{1}{4}(20+5\sqrt{3}+\sqrt{5(145+62\sqrt{5})}) \cdot 100\] \[S ≈ 16.5798 \cdot 100\] \[S ≈ 1657.98\]Die Oberfläche beträgt etwa 1658.0 Flächeneinheiten
3. Höhen-Berechnung
Für a = 10:
\[h = \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}} \cdot 10\] \[h ≈ 0.5257 \cdot 10\] \[h ≈ 5.257\]Die Höhe beträgt etwa 5.257 Längeneinheiten
4. Umkreisradius-Berechnung
Für a = 10:
\[r = \frac{1}{2}\sqrt{11+4\sqrt{5}} \cdot 10\] \[r ≈ 2.233 \cdot 10\] \[r ≈ 22.33\]Der Umkreisradius beträgt etwa 22.33 Längeneinheiten
5. Die perfekte Fünfeckkuppel mit goldenem Schnitt
Die Fünfeckkuppel mit goldenem Schnitt φ und pentagonaler Eleganz
Die Fünfeckkuppel: Der goldene Schnitt in 3D-Form
Die Fünfeckkuppel ist ein außergewöhnlicher Johnson Körper, der die zeitlose Schönheit des goldenen Schnitts φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618 in einer dreidimensionalen Kuppelform verkörpert. Mit ihrer dekagonalen Basis und der charakteristischen fünfeckigen Deckfläche vereint sie mathematische Perfektion mit ästhetischer Harmonie. Die mathematische Eleganz liegt in den komplexen Beziehungen mit √5 und dem goldenen Schnitt φ, die alle geometrischen Eigenschaften in harmonischer Weise miteinander verknüpfen und diese Struktur zu einem Meisterwerk der pentagonalen Geometrie machen.
Die Geometrie des goldenen Schnitts
Die Fünfeckkuppel zeigt die Perfektion der pentagonalen Symmetrie mit φ:
- Pentagonale Struktur: Fünfzählige Symmetrie mit goldenem Schnitt φ
- C5v-Symmetrie: Fünfzählige Rotationssymmetrie mit vertikalen Spiegelebenen
- Uniformität: Alle 25 Kanten haben dieselbe Länge
- Johnson Körper: J5 in der klassischen Klassifikation
- Konvexität: Alle Ecken ragen nach außen
- Goldener Schnitt: φ-Verhältnisse in allen Proportionen
- Pentagonale Eleganz: Perfekte Harmonie durch regelmäßige Fünfecke
Mathematische Eleganz mit φ
Goldener Schnitt Perfektion
Die Formeln der Fünfeckkuppel zeigen die tiefe Verbindung zum goldenen Schnitt φ mit √5-Beziehungen, die die natürlichen Proportionen der pentagonalen Harmonie beschreiben.
Pentagonale Eleganz
Die Kombination von dekagonaler Basis und fünfeckiger Spitze schafft eine optimale Balance zwischen Stabilität und der zeitlosen Schönheit des φ-Verhältnisses.
Komplexe Harmonie
Die Fünfeckkuppel zeigt, wie komplexe mathematische Beziehungen zu eleganten und praktischen geometrischen Formen führen können.
Ästhetische Vollendung
Die harmonische Verbindung von Dekagon, Quadraten und regelmäßigen Fünfecken erzeugt eine einzigartige visuelle Dynamik des goldenen Schnitts in 3D.
Zusammenfassung
Die Fünfeckkuppel verkörpert die perfekte Synthese zwischen dem goldenen Schnitt φ und dreidimensionaler geometrischer Form. Ihre Struktur aus einem regelmäßigen Dekagon, fünf Quadraten und sechs regelmäßigen Fünfecken, beschrieben durch komplexe φ- und √5-Formeln, macht sie zu einem faszinierenden Studienobjekt für Mathematiker, Architekten und alle, die sich für die Schönheit der pentagonalen Harmonie begeistern. Als Johnson Körper J5 zeigt sie, wie der goldene Schnitt von der zweidimensionalen Ebene in die dreidimensionale Welt überführt werden kann. Von der reinen Mathematik bis zur praktischen Anwendung bleibt die Fünfeckkuppel ein herausragendes Beispiel für die Kraft des goldenen Schnitts und die zeitlose Schönheit der pentagonalen Geometrie.
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