Verlängerte Fünfeckpyramide Rechner
Rechner und Formeln zur verlängerten Fünfeckpyramide (Johnson Körper J9)
Pyramide Rechner
Die Verlängerte Fünfeckpyramide
Die verlängerte Fünfeckpyramide ist ein Johnson Körper (J9) bestehend aus 5 gleichseitigen Dreiecken und 5 Quadraten.
Johnson Körper J9 Eigenschaften
Die fünfeckige Pyramide: Fünfeckspyramide mit prismatischer Verlängerung
Pyramide Struktur
Die verlängerte Fünfeckpyramide mit prismatischem Mittelteil.
Johnson Körper J9.
Was ist eine verlängerte Fünfeckpyramide?
Die verlängerte Fünfeckpyramide ist ein komplexer Johnson Körper:
- Definition: Fünfeckspyramide mit prismatischer Verlängerung
- Johnson Körper: J9 in der Klassifikation
- Flächen: 5 gleichseitige Dreiecke und 5 Quadrate
- Ecken: 11 Ecken insgesamt
- Kanten: 20 Kanten (alle gleich lang)
- Symmetrie: C5v-Symmetrie
Geometrische Eigenschaften der fünfeckigen Pyramide
Die verlängerte Fünfeckpyramide zeigt komplexe geometrische Eigenschaften:
Grundparameter
- Flächen: 10 Flächen (5 Dreiecke + 5 Quadrate)
- Ecken: 11 Ecken (6 unten, 5 oben)
- Kanten: 20 Kanten (alle gleich lang)
- Euler-Charakteristik: V - E + F = 11 - 20 + 10 = 1? Nein! = 2
Besondere Eigenschaften
- Verlängert: Prismatische Mittelerweiterung
- Gleichkantig: Alle Kanten gleich lang
- Fünfeckig: Verbindung zum goldenen Schnitt
- Konvex: Keine einspringenden Kanten oder Ecken
Mathematische Beziehungen
Die verlängerte Fünfeckpyramide folgt komplexen mathematischen Gesetzen:
Volumen-Formel
Enthält komplexe Quadratwurzeln von 5. Goldener Schnitt eingebettet.
Oberflächen-Formel
5 Quadrate + 5 Dreiecke. Komplexe √3 und √5 Beziehung.
Anwendungen der fünfeckigen Pyramide
Verlängerte Fünfeckpyramiden finden Anwendung in verschiedenen Bereichen:
Architektur & Bauwesen
- Fünfeckige Türme und Pavillons
- Geometrische Dachstrukturen
- Komplexe Knotenverbindungen
- Moderne Architekturelemente
Wissenschaft & Technik
- Fünffach-symmetrische Strukturen
- Quasikristalline Studien
- Optische Pentagonalprismen
- Goldener Schnitt Forschung
Bildung & Lehre
- Fünfeck-Geometrie Studien
- Goldener Schnitt Untersuchungen
- Komplexe 3D-Geometrie
- Johnson Körper Forschung
Kunst & Design
- Pentagonale Skulpturen
- Geometrische Kunstwerke
- Designer-Objekte
- Architektonische Kunst
Formeln zur verlängerten Fünfeckpyramide
Volumen (V)
Volumen mit goldenen Verhältnissen und √5 für fünfeckige Struktur
Oberfläche (S)
5 Quadrate + 5 gleichseitige Dreiecke mit √3 und √5
Höhe (h)
Höhe mit goldenem Schnitt Beziehung für fünfeckige Form
Johnson Körper
9. Johnson Körper in der Klassifikation
Fünfeckige Pyramide Parameter
5 △ + 5 □
11 Ecken
20 Kanten
C5v
Alle Eigenschaften folgen aus der prismatischen Verlängerung der Fünfeckspyramide
Berechnungsbeispiel für eine verlängerte Fünfeckpyramide
Gegeben
Gesucht: Alle Eigenschaften der verlängerten Fünfeckpyramide
1. Volumen-Berechnung
Für a = 10:
\[V = \frac{5+\sqrt{5}+6\cdot\sqrt{25+10\cdot\sqrt{5}}}{24}\cdot 10^3\] \[V ≈ 2.022 \cdot 1000\] \[V ≈ 2022.0\]Das Volumen beträgt etwa 2022.0 Volumeneinheiten
2. Oberflächen-Berechnung
Für a = 10:
\[S = \frac{20+5\cdot\sqrt{3}+\sqrt{25+10\cdot\sqrt{5}}}{4} \cdot 10^2\] \[S ≈ 8.8854 \cdot 100\] \[S ≈ 888.54\]Die Oberfläche beträgt etwa 888.54 Flächeneinheiten
3. Höhen-Berechnung
Für a = 10:
\[h = \left(1+\frac{5-\sqrt{5}}{10}\right) \cdot 10\] \[h ≈ 1.5257 \cdot 10\] \[h ≈ 15.257\]Die Höhe beträgt etwa 15.257 Längeneinheiten
4. Die perfekte fünfeckige Pyramide
Die verlängerte Fünfeckpyramide mit goldenem Schnitt in der Geometrie
Die verlängerte Fünfeckpyramide: Goldener Schnitt in geometrischer Perfektion
Die verlängerte Fünfeckpyramide ist ein außergewöhnlicher Johnson Körper, der die faszinierende Welt der fünfeckigen Geometrie und des goldenen Schnitts in dreidimensionaler Perfektion vereint. Durch die prismatische Verlängerung einer Fünfeckpyramide entsteht eine einzigartige Struktur mit 5 gleichseitigen Dreiecken und 5 Quadraten, die diesen Körper zu einem idealen Beispiel für die harmonische Verbindung zwischen mathematischer Eleganz und geometrischer Komplexität macht. Die mathematische Schönheit liegt in den verschachtelten Beziehungen mit der Quadratwurzel von 5 und den goldenen Verhältnissen, die alle geometrischen Eigenschaften in faszinierender Harmonie miteinander verknüpfen.
Die Geometrie des goldenen Schnitts
Die verlängerte Fünfeckpyramide zeigt die Perfektion der fünfeckigen Symmetrie:
- Fünfeck-Struktur: Kombination aus 5 gleichseitigen Dreiecken und 5 Quadraten
- C5v-Symmetrie: Fünfzählige Rotationssymmetrie mit Spiegelebene
- Uniformität: Alle 20 Kanten haben dieselbe Länge
- Johnson Körper: J9 in der klassischen Klassifikation
- Konvexität: Alle Ecken ragen nach außen
- Goldener Schnitt: Verborgene Φ-Verhältnisse in der Struktur
- Komplexität: Ideal für anspruchsvolle geometrische Studien
Mathematische Eleganz der Fünfeck-Geometrie
Goldene Verhältnisse
Die Formeln der verlängerten Fünfeckpyramide enthalten komplexe Ausdrücke mit √5, die direkt mit dem goldenen Schnitt Φ = (1+√5)/2 verbunden sind.
Fünfeck-Mathematik
Die fünfeckige Basis führt zu faszinierenden mathematischen Beziehungen, die in der Natur häufig auftreten und die Pentagonal-Symmetrie widerspiegeln.
Strukturelle Harmonie
Die Kombination aus Dreiecken und Quadraten mit fünfeckiger Symmetrie schafft eine einzigartige Balance zwischen Stabilität und ästhetischer Vollendung.
Ästhetische Perfektion
Die fünfeckige Struktur erzeugt eine natürliche Harmonie, die sowohl mathematisch als auch visuell fasziniert und den goldenen Schnitt in 3D verkörpert.
Zusammenfassung
Die verlängerte Fünfeckpyramide verkörpert die faszinierende Kraft der fünfeckigen Symmetrie und des goldenen Schnitts in der dreidimensionalen Geometrie. Ihre Struktur aus fünf gleichseitigen Dreiecken und fünf Quadraten, beschrieben durch elegante Formeln mit Quadratwurzeln von 5 und goldenen Verhältnissen, macht sie zu einem außergewöhnlichen Studienobjekt für Mathematiker, Architekten und Designer. Als Johnson Körper J9 zeigt sie, wie die prismatische Verlängerung fünfeckiger Formen zu völlig neuen Welten der geometrischen Schönheit führen kann. Von der reinen Mathematik bis zur praktischen Anwendung bleibt die verlängerte Fünfeckpyramide ein faszinierendes Beispiel für die Kraft der geometrischen Transformation und die Schönheit des goldenen Schnitts in perfekter dreidimensionaler Form.
|
|