Mittelsenkrechte eines Dreiecks
Definition, Eigenschaften und Berechnung der Mittelsenkrechten sowie des Umkreismittelpunkts
Die Mittelsenkrechte einer Seite eines Dreiecks ist die Gerade, die durch den Mittelpunkt dieser Seite verläuft und senkrecht zu ihr steht. Jede Seite hat genau eine Mittelsenkrechte.
Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich im Umkreismittelpunkt, dem Mittelpunkt des Umkreises, der alle Eckpunkte berührt.
Grundbegriffe
Die Mittelsenkrechte einer Strecke verbindet deren Mittelpunkt mit allen Punkten, die von den Streckenenden gleich weit entfernt sind.
Anzahl
Jede Seite hat eine Mittelsenkrechte — drei pro Dreieck
Schnittpunkt
Der Umkreismittelpunkt (Circumcenter)
Lage
Umkreismittelpunkt kann innen (spitz), auf der Hypotenuse (rechtwinklig), oder außerhalb (stumpf) liegen
MathJax-Formeln
Für Punkte \(A(x_1,y_1)\) und \(B(x_2,y_2)\) ist die Mittelsenkrechte die Lösungsmenge aller Punkte \(P(x,y)\) mit gleichen Abständen zu \(A\) und \(B\):
Der Mittelpunkt der Strecke \(AB\) ist:
Der Umkreismittelpunkt (Circumcenter) ist der Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten. Der Umkreisradius \(R\) ergibt sich aus:
wobei die Dreiecksfläche \(T\) mit Heron berechnet werden kann:
Praktisches Beispiel
Umkreisradius für \(a=7,\; b=8,\; c=9\)
Mittelsenkrechte vs. andere Linien
| Linie | Definition | Schnittpunkt | Eigenschaft |
|---|---|---|---|
| Mittelsenkrechte | Senkrecht durch Seitenmitte | Umkreismittelpunkt | Zentrum des Umkreises |
| Seitenhalbierende | Eckpunkt zur Seitenmitte | Schwerpunkt | Teilt im Verhältnis 2:1 |
| Winkelhalbierende | Halbiert Winkel | Inkreismittelpunkt | Gleiche Entfernung zu Schenkeln |
| Höhe | Senkrecht zum Seite | Orthozentrum | Kann außerhalb liegen |
Zusammenfassung
Definition
Gerade durch Seitenmitte und senkrecht zur Seite
Umkreismittelpunkt
Mittelpunkt des Umkreises; Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten
Umkreisradius
\[\displaystyle R=\frac{abc}{4T}\]
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