Pythagoreisches Tripel

Ein pythagoreisches Tripel oder pythagoreisches Zahlentripel wird von drei natürlichen Zahlen gebildet, die die Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bestimmen.

Beim rechtwinkligen Dreieck ist nach dem Satz des Pythagoras die Summe der Quadrate der beiden kleineren Zahlen gleich dem Quadrat der größten Zahl.

\(\displaystyle c^2=a^2+b^2\)

Wenn a, b und c außer 1 keinen Teiler gemeinsam haben, spricht man von einem primitiven pythagoreischen Tripel.

Das kleinste und bekannteste pythagoreische Tripel ist \((3,\ 4,\ 5)\). Es ist primitiv, denn die drei natürlichen Zahlen haben nur 1 als Teiler gemeinsam.

Weitere Beispiele für weitere kleine primitive pythagoreische Tripel sind \((5,\ 12,\ 13)\) und \((8,\ 15\ 17)\).

Beispiele für nicht primitive pythagoreische Tripel sind \((15,\ 20,\ 25)\) mit \(5\) als einem gemeinsamen Teiler oder \(\displaystyle (15,\ 36,\ 39)\) mit dem gemeinsamen Teiler \(3\).

Erzeugung der pythagoreischen Tripel

Die folgenden drei Formeln liefern für beliebige \(m,\ n\) ein pythagoreisches Tripel \((a,\ b,\ c)\).

\(\displaystyle a=m^2-n^2\)
\(\displaystyle b=2mn\)
\(\displaystyle c=m^2+n^2\)

Das pythagoreisches Tripel ist genau dann primitiv, wenn \(m\) und \(n\) teilerfremd und nicht beide ungerade sind.

Weitere Informationen zur Herleitung der Formeln finden Sie bei Wikipedia.