Pythagoreisches Tripel

Definition, Eigenschaften und Erzeugung von Pythagoreischen Tripeln

Ein pythagoreisches Tripel ist ein Zahlentripel aus drei natürlichen Zahlen, das die Bedingung des Satzes des Pythagoras erfüllt: Das Quadrat der größten Zahl ist gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Zahlen.

Das bekannteste Beispiel ist das Tripel (3, 4, 5). Pythagoreische Tripel werden verwendet, um rechtwinklige Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen zu beschreiben.

Definition

Pythagoreisches Tripel:

Drei natürliche Zahlen \(a\), \(b\), \(c\) bilden ein pythagoreisches Tripel, wenn:

\[\displaystyle a^2 + b^2 = c^2\]

Dabei ist \(c\) die größte Zahl (Hypotenuse) und \(a\), \(b\) sind die Katheten.

Primitives Pythagoreisches Tripel

Ein pythagoreisches Tripel heißt primitiv, wenn die drei Zahlen außer 1 keinen gemeinsamen Teiler haben (sie sind also teilerfremd).

Beispiele:
  • \((3, 4, 5)\) — primitiv, da \(\gcd(3,4,5) = 1\)
  • \((5, 12, 13)\) — primitiv
  • \((8, 15, 17)\) — primitiv
  • \((15, 20, 25)\) — nicht primitiv, da \(\gcd(15,20,25) = 5\)
  • \((9, 12, 15)\) — nicht primitiv, da \(\gcd(9,12,15) = 3\)

Praktische Beispiele

Verifikation des 3-4-5 Tripels
Gegeben: \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = 5\)
Test: \[\displaystyle 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\]
Und: \[\displaystyle 5^2 = 25\]
Ergebnis: \(3^2 + 4^2 = 5^2\) ✓ (pythagoreisches Tripel bestätigt)
Nicht-primitives Tripel
Gegeben: \(a = 15\), \(b = 20\), \(c = 25\)
Test: \[\displaystyle 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625\]
Und: \[\displaystyle 25^2 = 625\]
Gemeinsamer Teiler: \(\gcd(15, 20, 25) = 5\)
Dieses ist \(5 \times (3, 4, 5)\) — nicht primitiv

Erzeugung Pythagoreischer Tripel

Es gibt systematische Formeln, um alle primitiven pythagoreischen Tripel zu erzeugen.

Euklids Formel

Für beliebige natürliche Zahlen \(m > n > 0\) mit \(\gcd(m, n) = 1\) und nicht beide ungerade, liefert diese Formel ein primitives pythagoreisches Tripel:

\[\displaystyle a = m^2 - n^2\]
\[\displaystyle b = 2mn\]
\[\displaystyle c = m^2 + n^2\]
Bedingungen für primitive Tripel:
  • \(m > n > 0\)
  • \(\gcd(m, n) = 1\) (teilerfremd)
  • \(m\) und \(n\) nicht beide ungerade (eine gerade, eine ungerade)

Beispiel: Erzeugung mit Euklids Formel

Berechnung für m=2, n=1
Gegeben: \(m = 2\), \(n = 1\)
Prüfung: \(\gcd(2,1) = 1\) ✓, \(m\) gerade und \(n\) ungerade ✓
Berechnung: \[\displaystyle a = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3\]
\[\displaystyle b = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4\]
\[\displaystyle c = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5\]
Tripel: \((3, 4, 5)\) — das bekannte primitive Tripel!
Berechnung für m=3, n=2
Gegeben: \(m = 3\), \(n = 2\)
Prüfung: \(\gcd(3,2) = 1\) ✓, \(m\) ungerade und \(n\) gerade ✓
Berechnung: \[\displaystyle a = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5\]
\[\displaystyle b = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12\]
\[\displaystyle c = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13\]
Tripel: \((5, 12, 13)\) — ebenfalls primitiv!

Übersicht Primitiver Tripel

m n a b c Tripel
21345(3, 4, 5)
3251213(5, 12, 13)
4115817(8, 15, 17)
4372425(7, 24, 25)
52212029(20, 21, 29)

Wichtige Eigenschaften

Primitive Tripel

Erzeugt durch Euklids Formel mit teilerfremden \(m\), \(n\)

Nicht-Primitive

Vielfache von primitiven Tripeln: \((ka, kb, kc)\)

Anzahl

Es gibt unendlich viele primitive pythagoreische Tripel

Zusammenfassung

Definition

Drei natürliche Zahlen mit \[\displaystyle a^2 + b^2 = c^2\]

Primitiv

Keine gemeinsamen Teiler außer 1

Euklids Formel

Erzeugt alle primitiven Tripel systematisch



Winkelhalbierende
Seitenhalbierende
Höhe eines Dreiecks
Mittelsenkrechte eines Dreiecks
Satz des Pythagoras
Pythagoreisches-Tripel (3, 4, 5)
Kreis
Quadrat
Rechteck
Raute
Parallelogramm
Trapez












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