Höhen eines Dreiecks

Definition, Eigenschaften und Berechnung von Höhen sowie das Orthozentrum

Eine Höhe eines Dreiecks ist eine Strecke, die von einem Eckpunkt senkrecht zur gegenüberliegenden Seite (oder deren Verlängerung) verläuft. Jede Höhe steht im rechten Winkel (90°) zur jeweiligen Grundseite.

Jedes Dreieck hat drei Höhen; der Schnittpunkt aller Höhen heißt Orthozentrum und liegt je nach Dreieckstyp innen, auf oder außerhalb des Dreiecks.

Grundbegriffe und Eigenschaften

Notation:

Die Höhe auf Seite \(a\) wird mit \(h_a\) bezeichnet, analog \(h_b\) und \(h_c\).

Orthozentrum

Schnittpunkt aller drei Höhen

Lage

Innen (spitz), Eckpunkt (rechtwinklig), außerhalb (stumpf)

Rechtwinkel

Höhen sind Lotgeraden auf die Grundseite

Formeln (MathJax Display)

Für ein Dreieck mit Seiten \(a=BC,\; b=CA,\; c=AB\) und Winkeln \(A,B,C\) gelten:

\[\displaystyle h_a = b\sin C = c\sin B \]
\[\displaystyle h_b = a\sin C = c\sin A \]
\[\displaystyle h_c = a\sin B = b\sin A \]

Beziehung zur Fläche \(T\):

\[\displaystyle T = \frac{1}{2} a h_a \Rightarrow h_a = \frac{2T}{a} \]
\[\displaystyle h_b=\frac{2T}{b},\quad h_c=\frac{2T}{c}\]

Rechtwinkliges Dreieck (\(C=90^\circ\)):

\[\displaystyle h_c = \frac{a\cdot b}{c} \]

Praktische Beispiele

Höhe aus Fläche berechnen
Gegeben: \(a=8\,\mathrm{cm},\; T=24\,\mathrm{cm}^2\)
Formel: \[\displaystyle h_a=\frac{2T}{a}\]
Berechnung: \[\displaystyle h_a=\frac{2\cdot24}{8}=6\,\mathrm{cm}\]
Höhe mit Sinus
Gegeben: \(b=10\,\mathrm{cm},\; C=40^\circ\)
Formel: \[\displaystyle h_a=b\sin C\]
Berechnung: \[\displaystyle h_a=10\cdot\sin(40^\circ)\approx10\cdot0.6428\approx6.43\,\mathrm{cm}\]

Zusammenfassung

Definition

Senkrechte Strecke von Eckpunkt zur gegenüberliegenden Seite

Orthozentrum

Schnittpunkt der 3 Höhen

Fläche

\[\displaystyle T=\tfrac{1}{2}a h_a\]



Winkelhalbierende
Seitenhalbierende
Höhe eines Dreiecks
Mittelsenkrechte eines Dreiecks
Satz des Pythagoras
Pythagoreisches-Tripel (3, 4, 5)
Kreis
Quadrat
Rechteck
Raute
Parallelogramm
Trapez




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